Нормальное распределение. Общим нормальным распределением вероятностей непрерывной случайной величины Х называется распределение с плотностью

(22)

График плотности нормального распределения (22) для разных значений параметра показан на рис. 9.3.

Рис. 4.3. График плотности нормального распределения для разных .

Нормальное распределение задается двумя параметрами: и . Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (19) и (20)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нор­мального распределения справедливы формулы

Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным и его плотность равна

(23)

Для случая нормированного нормального распределения функция распределения имеет вид

Поскольку эта функция является четной, то неопределенный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо него используется функция Лапласа

Функции и табулированы (см. приложение).

В заключении этого раздела приведем две важные характеристики. Модой называется возможное значение случайной величины X, при котором плотность распределения имеет максимум. Медианой называется такое возможное значение случайной величины , что вертикальная прямая делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Пример. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Опре­делить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Решение. По условию задачи . Используя формулу (9.16), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.