Типовая задача с решением

Рис. 3.1

Решение

Рис. 3.2

Таким образом, на вход системы поступает суммарный сигнал

V (t) = X (t) + U (t). (3.1)

На выходе системы вместо желаемого сигнала Z(t) возникает сигнал Y(t). Таким образом, ошибка на выходе системы определяется как

E (t) = Z (t) – Y (t). (3.2)

Операторное изображение желаемого сигнала на выходе системы связано с операторным изображением полезного сигнала на её входе с помощью выражения

Z (p) = X (p)× G(p), (3.3)

где G (p) – передаточная функция системы при условии отсутствии помехи.

Операторное изображение истинного сигнала на выходе системы связано с операторным изображением суммарного сигнала на её входе с помощью передаточной функции H (p):

Y (p) = V (p)× H (p). (3.4)

Операторное изображение ошибки с учетом приведенных выше выражений определится как

E (p) = X (p)[ G (p)- H (p)] – U (p) H (p). (3.5)

При решении задачи фильтрации помехи Z(t)=X(t) и G(t)=1. Как правило, систематическая ошибка на выходе системы отсутствует (такая система называется астатической). Поэтому критерием оптимальности системы может, в частности, служить минимум дисперсии ошибки на её выходе. Для определения дисперсии ошибки предварительно целесообразно определить корреляционную функцию cтационарного процесса на выходе (K_YY (0)= D_Y). При заданных корреляционных функциях полезного случайного процесса и помехи на входе и заданной структуре передаточной функции линейной системы D_Y будет зависеть лишь от параметров этой системы, которые и надлежит определять, исходя из требования минимизации ошибки на выходе системы.

При решении этой задачи целесообразно воспользоваться понятием спектральной плотности случайного процесса, которая в рассматриваемом случае фильтрации помехи определится как

S_EE (p)= S_XX (p)(1- H (p))(1- H (- p)) + S_UU (p) H (p) H (- p). (3.6)

Затем с помощью обратного двустороннего преобразования Лапласа [выражения (2.3) и (2.4)] определяется K_EE (t) и, наконец, D_E.

В рассматриваемом примере примем, что на вход системы рис. 3.1 поступает полезный стационарный случайный процесс, характеризующийся корреляционной функцией K_XX (t)= D_Xe ^{-aô tô} и помеха, представляющая собой белый шум – K_UU (t)= , где d₁(t) – импульсная функция первого рода (функция Дирака). Спектральные плотности этих процессов запишутся в виде:

S_XX (p)= S_UU (p)= c ². (3.7)

Передаточная функция интегрирующей линейной системы (рис.3.1) будет

H (p)=d/(p +d), где d=1/ RC. (3.8)

Спектральная плотность ошибки в соответствии с выражением (3.6) определится как

S_EE (p)=- (3.9)

Переходя в (3.9) к оригиналу при t> 0 [выражение (2.3)], получим

K_EE (t)= (3.10)

Полагая в (3.10) t=0, получим

D_E = (3.11)

При заданных параметрах корреляционных функций K_XX(t) и K_UU(t) величина дисперсии D_E зависит лишь от параметра линейной системы d=1/Т (Т=RC – постоянная времени схемы рис. 3.1). Зависимость D_E=f(d) при D_X=2, a =1 1/с, с=0.5 в рассматриваемом случае приведена на рис.3.3. Из рисунка следует, что при некотором значении d наблюдается минимальная дисперсия ошибки, т.е. при заданных характеристиках полезного сигнала и помехи на входе системы последняя при этом значении T=1/d является оптимальной.

Рис.3.3

Значение d, отвечающее D_Emin, можно получить и аналитически, взяв производную по d от выражения (3.11) и приравняв её нулю. Выражение для d_опт при этом имеет вид

d_опт (3.12)

В рассматриваемом примере d_опт=3 1/с и соответственно Т _опт=1/3 с.