Типовая задача с решением. Найти математические ожидания числа выбросов стационарного нормального случайного процесса за заданный уровень с в течение времени т (m[n(c;t)]) и времени

Найти математические ожидания числа выбросов стационарного нормального случайного процесса за заданный уровень с в течение времени Т (M [ N (c; T) ] ) и времени пребывания процесса X (t ) за время Т выше этого уровня (M [ T_c ]). Заданы математическое ожидание и корреляционная функция стационарного процесса X (t): M [ X (t)]=0, (t)= ; c =1; = 1; a=2 1/ч²; Т =10 ч.

Решение

Математическое ожидание числа выбросов стационарного случайного процесса за время Т выше уровня сопределяется по выражению:

M [ N (c; T)]= , (4.1)

где s _Y – среднеквадратическое отклонение случайного процесса Y = .

Дисперсия D [ Y ]= K_YY (0), а K_YY (t)= - K_XX (t).

В рассматриваемом примере

K_YY (t)= [ . (4.2)

Из (4.2) следует, что K _YY ( 0 )= D_Y = 2a D_X. При подстановке числовых значений a и D_X D_У= 4 и s _Y =2.

Подставив в (4.1) s _Y и остальные параметры, получим M [ N (c; T)]= M [ N (1; 10)]=1.93 ч.

Математическое ожидание времени нахождения в течение интервала Т нормального случайного процесса X (t) выше уровня с определяется как

M [ T_c ]= T × , (4.3)

где — функция Лапласа (интеграл вероятности).

Следует отметить, что при решении задачи о выбросах, связанной с определением корреляционной функции процесса Y (t)= , производная корреляционной функция процесса X(t) должна быть непрерывной.

В табл. 4.1 приведены выражения для K_XX (t), принятые в вариантах задания 4.

Таблица 4.1

Номер KXX (t)	KXX (t)
	DX exp(-at2)cosbt
	DX exp(-g|t|)(1+g|t|)
	DX exp(-g|t|)(cosbt+ b|t|)

Варианты заданий приведены в табл. 4.2.

Таблица 4.2

Номер варианта	НомерKXX(t)	c	mX	sX	T, ч.	a 1/час2	g 1/час	b 1/час
							-
							-
							-
							-
							-
							-
						-		-
						-		-
						-		-
						-		-
						-		-
						-		-
						-
						-
						-
						-
						-
						-