Задание №3. Прибор состоит из m узлов, которые могут заменять друг друга

Прибор состоит из m узлов, которые могут заменять друг друга. Для нормальной работы прибора достаточно функционирования хотя бы одного узла. При выходе из строя трех узлов прибор не работает. Среднее время безотказной работы одного узла t часов, среднее время ремонта распределено по показательному закону и равно в среднем S часов. Поток отказов простейший. В начальный момент времени все узлы исправны. Найти среднюю производительность прибора, если с выходом из строя каждого узла прибор теряет (100/ m) % своей номинальной производительности.

Пример 4 Техническое устройство состоит из двух узлов. Каждый из узлов в любой момент времени может выйти из строя и сразу же начинает ремонтироваться соответственно первой и второй ремонтными бригадами. Среднее время безотказной работы первого узла – 10 суток, второго узла – 15 суток, среднее время ремонта первого узла – 24 часа, второго узла –

12 часов. Потоки отказов и ремонтов простейшие. В начальный момент времени оба узла исправны. Найти среднюю стоимость ремонта узла за 1000 часов работы устройства, если 1 час ремонта первого узла стоит 5, а второго –

3 условных единицы.

Решение. Возможные состояния системы: – оба узла исправны; – первый узел ремонтируется, второй – исправный; – второй узел ремонтируется, первый узел исправен; – ремонтируются оба узла.

		λ 1=1/35

Рис. 2.4. Размеченный граф состояний системы

Размеченный граф состояний системы изображен на рис. 2.4.

Из состояния в состояние систему переводит поток отказов первого узла с интенсивностью отказов в сутки; из состояния в состояние – поток отказов второго узла с интенсивностью отказов в сутки. Из состояния в состояние систему переводит поток восстановлений первого узла с интенсивностью восстановление в сутки, из состояния в состояние – поток восстановления второго узла с интенсивностью восстановления в сутки. Аналогично можно получить

.

Все состояния системы существенные, сообщающиеся. Следовательно, предельные вероятности состояний существуют. Для предельных вероятностей состояний имеем систему линейных однородных алгебраических уравнений

(7)

Кроме того, выполняется нормировочное условие:

(8)

В системе (7) каждое из уравнений есть линейная комбинация остальных уравнений системы. Например, сложив второе и третье уравнения и вычтя первое, получим четвертое уравнение.

Система (7) равносильна системе уравнений

Решение этой системы имеет вид

где

Следовательно,

Подставив полученные вероятности в нормировочное условие (8), получим

Следовательно,

Выводы. Средняя стоимость П ремонта узлов за 1000 часов работы устройства определяется следующим образом:

(условных единиц).

ВАРИАНТЫ К ТИПОВОМУ РАСЧЕТУ