Приведенные показатели справедливы для условий стационарного режима работы системы, когда ее загрузка

К показателям СМО относятся:

– среднее число заявок, находящихся в ожидании обслуживания (L_ож);

– среднее число требований, находящихся в системе обслуживания (L_c);

– среднее время нахождения требований в очереди (t_ож);

– среднее время нахождения требований в системе (t_с).

Для определения показателей системы надо знать распределение интервалов между требованиями и распределение времени обслуживания, при этом могут иметь место:

– пуассоновский входящий поток требований и показательный закон распределения времени обслуживания;

– пуассоновский входящий поток требований и произвольное распределение времени обслуживания;

– эрланговский входящий поток требований и эрланговское распределение времени обслуживания.

Для пуассоновского потока требований и показательного закона распределения времени обслуживания:

;

;

;

.

Для пуассоновского потока требований и произвольного распределения времени обслуживания по формулам Поллячек -Хинчина:

;

;

;

,

где – коэффициент вариации, равный отношению среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию,

.

Для эрланговского входящего потока и эрланговского распределения времени обслуживания:

среднее число необслуженных требований, находящихся в системе

.

В этой и последующих формулах

k – параметр в эрланговском распределении промежутков времени между поступлением требований:

k₁ – параметр в эрланговском распределении времени обслуживания.

Среднее время ожидания начала обслуживания требований, находящихся в накопителе

.

Среднее число требований, находящихся в обслуживающем устройстве, равно загрузке системы .

Среднее число требований, находящихся в накопителе в ожидании начала обслуживания

.

Среднее число требований в системе, включая обслуженную часть требований, находящихся в обслуживающем устройстве

.

Дисперсия числа требований в системе

.

Дисперсия числа требований, ожидающих в накопителе начала обслуживания

.

Распределение вероятностей состояния системы , т.е. вероятностей того, что в системе находится n требований, дано в таблице 7.

Таблица 7

Значение вероятностей состояний системы при пуассоновском входящем потоке и эрланговском времени обслуживания приведено ниже в таблице

	P 0	P 1	P 2	P 3	P 4	P 5	P 6	P 7	P 8	P 9	P 10
k =2
0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9	0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1	0, 281 0, 276 0, 247 0, 192 0, 110	0, 1271 0, 155 0, 167 0, 153 0, 1005	0, 0538 0, 083 0, 106 0, 116 0, 0, 888	0, 022 0, 0439 0, 064 0, 089 0, 0793	0, 0088 0, 0235 0, 037 0, 070 0, 0709	0, 0033 0, 014 0, 02 0, 054 0, 0635	0, 0096 0, 008 0, 041 0, 0511	0, 007   0, 030 0, 0515	0, 0224 0, 0466	0, 014 0, 0421
k =3
0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9	0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1	0, 3007 0, 2912 0, 258 0, 2097 0, 1197	0, 1321 0, 1569 0, 656 0, 1681 0, 1109	0, 052 0, 0768 0, 0, 978 0, 1256 0, 0962	0, 019 0, 0389 0, 552 0, 0928 0, 0815	0, 0059 0, 0088 0, 026 0, 0686 0, 0665	0, 0054 0, 0504 0, 0510	0, 0324 0, 0330	0, 0182 0, 0165	0, 0078 0, 0044
k =4
0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9	0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1	0, 300 0, 2988 0, 2719 0, 2147 0, 1253	0, 12 0, 1533 0, 1743 0, 1683 0, 1166	0, 04 0, 0713 0, 0961 0, 1209 0, 1003	0, 02 0, 0334 0, 0484 0, 08406 0, 0836	0, 01 0, 0158 0, 0215 0, 0514 0, 0664	0, 01 0, 0084 0, 0064 0, 03824 0, 05	0, 02473 0, 0351	0, 0155 0, 0223	0, 0091 0, 0121	0, 0039
k =5
0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9	0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1	0, 3053 0, 3046 0, 2776 0, 2199 0, 1285	0, 1250 0, 1592 0, 1806 0, 1720 0, 1229	0, 0418 0, 0741 0, 1082 0, 1230 0, 1125	0, 0108 0, 0311 0, 0592 0, 0851 0, 1008	0, 0011 0, 0106 0, 0362 0, 0650 0, 0905	0, 0214 0, 0291 0, 0785	0, 0145 0, 0136 0, 0685	0, 0575	0, 0331	0, 01198

Показатели эффективности систем массового обслуживания (СМО)

Обычно в теории массового обслуживания интересуются предельными средними характеристиками системы, которые называют показателями эффективности СМО. В качестве показателей эффективности могут рассматриваться следующие:

– среднее число заявок, обслуживаемое СМО в единицу времени. Эту характеристику называют абсолютной пропускной способностью СМО.

– вероятность обслуживания поступившей заявки или относительная пропускная способность СМО. Очевидно, .

– вероятность отказа, т. е. вероятность того, что поступившая заявка не будет обслужена, .

– среднее число заявок в СМО (имеются в виду все заявки, как обслуживаемые, так и ожидающие очереди, если она есть).

– среднее число заявок в очереди, если она есть.

– среднее время пребывания заявки в СМО, как в очереди, если она есть, так и под обслуживанием.

– среднее время пребывания заявки в очереди.

– среднее число занятых каналов.

Выбор показателей эффективности СМО зависит от типа СМО. Например, абсолютная пропускная способность А, являясь основной характеристикой обслуживания в СМО с отказами, теряет смысл для СМО с ограниченной очередью.

Для открытых СМО справедливы соотношения

(17)

где – интенсивность потока заявок, – интенсивность потока обслуживания. Формулы (17) справедливы только в том случае, когда входящий поток заявок и поток обслуживаний стационарны.