Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основные виды уравнений парной регрессии и методы определения их параметров
Выбор формулы связи (вида уравнения) называется спецификацией уравнения регрессии. Перечислим основные виды уравнений парной регрессии: § Линейная зависимость ; § Гиперболическая зависимость ; § Степенная зависимость ; § Логарифмическая зависимость ; § Полиномиальная зависимость ; § Тригонометрическая зависимость ; где m – число гармоник; a0, ak, bk – неизвестные коэффициенты линии регрессии. Определение параметров уравнения регрессии называется параметризацией. Для определения неизвестных параметров уравнения регрессии обычно применяют метод наименьших квадратов (МНК). Рассмотрим функцию вида . Алгоритм применения МНК 1. Строится целевая функция 2. Находится система уравнений для определения неизвестных параметров Согласно МНК для нахождения параметров полинома p -ой степени необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений: Решение этой системы относительно и дает искомые значения параметров.
Линейная зависимость Для определения неизвестных параметров линейной зависимости методом наименьших квадратов необходимо решить следующую систему нормальных уравнений: . (3) Пусть d, da, db – определители, соответствующие системе уравнений (3), а именно: . Тогда неизвестные коэффициенты уравнения регрессии будут равны: . Другое решение системы (3). Из первого уравнения следует: , а из второго – имеем: Таким образом , . Подставив значения а и b в формулу , получим:
Гиперболическая зависимость При гиперболической зависимости параметры a и b находят, как и в случае линейной зависимости, но для уравнения регрессии , где .
Степенная зависимость Для определения параметров a и b степенной зависимости необходимо преобразовать зависимость в линейную, для этого необходимо прологарифмировать обе части: Пусть , a* = lna, x* = lnx, тогда . Применив к зависимости МНК, находим . Определители d, da*, db относятся к системе уравнений , где Значение а находим в результате потенцирования a = ea*, значение b из соотношения b = db / d.
Логарифмическая зависимость Для определения параметров a и b при заданной зависимости уравнение регрессии представим в виде , где x*=lnx..
Параболическая зависимость Алгоритм применения МНК для параболической зависимости второго порядка заключается в следующем:
Система преобразуется к виду: Решение системы нормальных уравнений относительно неизвестных параметров a, b, c можно найти, как и при линейной зависимости, с помощью определителей: , где
Алгоритм применения МНК для параболической зависимости третьего порядка заключается в следующем:
Система преобразуется к виду: Решение системы нормальных уравнений относительно неизвестных параметров a, b, c, d можно найти, как и при линейной зависимости, с помощью определителей: , где
Тригонометрическая зависимость Уравнение регрессии этого вида является приближением функции y (х), которое тем точнее, чем больше значение m (m - число гармоник, количество составляющих исследуемого процесса). Поэтому при различных значениях m получаются различные виды тригонометрической зависимости. Значения неизвестных параметров a0, ak, bk () находят с помощью метода наименьших квадратов. Для этого строится целевая функция: Далее находят . Получается система нормальных уравнений. Эта система обладает свойством ортогональности. В результате решения системы получим: Если в качестве фактора xi рассматривается фактор времени (например, при построении тригонометрического тренда), то xi заменяем на величину , где , для помесячных данных Таблица 1.
Например, при k=1 тригонометрический тренд имеет вид: , где , , Если объем выборки N больше 12 месяцев, то для первых 12-ти месяцев изменяется от 0 до , затем в следующем году снова изменяется от 0 до , и так повторяется для каждого последующего года. Если увеличивается число коэффициентов в уравнении регрессии при параболической и тригонометрической зависимости, то увеличится точность аппроксимации, но уменьшится значимость в результате увеличения дисперсии , где n – количество неизвестных параметров в уравнении регрессии. При нелинейной зависимости определение тесноты связи между двумя случайными величинами х и y производится с помощью корреляционного отношения , где .
|