Множественная регрессия

В множественной регрессии в отличие от парной на зависимую случайную переменную (результирующий показатель) воздействуют одновременно n (n> 1) независимых факторов x₁, x₂,.., x_n. Уравнение множественной регрессии записывается в виде: .

Коэффициент корреляции зависимости между результирующим показателем y и каждым j – м () фактором x_j должен быть отличен от нуля: .

При проверке по нулевой гипотезе, которая утверждает, что в генеральной совокупности связи между y и x_j нет , хотя по выборке корреляционная связь имеется, нулевая гипотеза не должна подтверждаться при P = 0, 9.

Факторы x₁, x₂,.., x_n должны быть попарно независимыми: . При проверке значимости коэффициентов корреляции зависимости между x_k и x_j по нулевой гипотезе, она должна подтверждаться () при P = 0, 9.

В отличие от парной регрессии в множественной отдельно рассматриваются только два вида зависимостей: линейная и нелинейная.

Они отличаются только алгоритмами построения уравнений регрессии. Общим для них является способ выбора из заданного множества факторов, попарно независимых.

Пусть на результирующий показатель y воздействуют факторы х₁, х₂ , х₃, х₄. Для каждой пары факторов определяются коэффициенты корреляции, которые примем равными: r_{1, 2} = 0, 85; r_{1, 3} = 0, 22; r_{1, 4} = 0, 64; r_{2, 3} = 0, 75; r_{2, 4} = 0, 08; r_{3, 4} = 0, 45.

В результате проверки значений r_{k, j} по нулевой гипотезе получим r_{1, 3} = r_{2, 4} = 0, а остальные r_{k, j} ¹ 0.

Отсюда следует, что попарно независимыми являются следующие пары факторов: х₁, х₃ и х₂, х₄.

Таким образом, в рассматриваемом случае в качестве независимых факторов могут быть взяты либо х₁, х₃ , либо х₂, х₄. Какой группе факторов отдать предпочтение, зависит от величины совокупного воздействия каждой из них на результирующий показатель y. Берется та пара, у которой коэффициент корреляции совокупного воздействия R на y больше.

В случае, когда число независимых факторов равно n D – определитель вида

,

- определитель D без первой строки и первого столбца:

.

Предположим, что в рассматриваемом примере

Тогда для пары x₁ , x₃ имеем

.

Для пары x₂ , x_4, выполняя аналогичные действия, находим .

Так как для пары x₁, x₃ R_x1x3 больше, чем для пары x₂, x₄ , то в качестве независимых факторов предпочтительнее взять x₁ и x₃.