![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретические сведения. Система массового обслуживания (СМО) называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы обслуживания занятыми
Система массового обслуживания (СМО) называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы обслуживания занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал. Рассмотрим n -канальную СМО. Поток заявок пуассоновский с интенсивностью Составим перечень состояний системы. Имеем: x 0 – все каналы свободны x 1 – занят 1 канал, остальные свободны x 2 – занято 2 канала, остальные свободны xk – занято k каналов, остальные свободны xn – заняты все n каналов xn+ 1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди xn+ 2 – заняты все n каналов, две заявки стоят в очереди xn+r – заняты все n каналов, r заявок стоят в очереди Приведем граф состояния СМО. Имеем
Рис. 6.1
Обозначим через Pk (t)(k = 0, 1, …, n+r, …) вероятности состояний системы в момент времени t. Правило составления дифференциальных уравнений для вероятностей P 0(t), P 1(t), …, Pn+r (t), … следующее: 1) Производная вероятности данного состояния равно определенной сумме слагаемых. 2) Число слагаемых равно числу стрелок, соединяющих данное состояние со всеми остальными состояниями. 3) Слагаемое берется со знаком “+”, если стрелка направлена к данному состоянию и со знаком “–”, если стрелка направлена от данного состояния. 4) Каждое слагаемое равно произведению вероятности того состояния, из которого выходит стрелка, на интенсивность пуассоновского потока по этой стрелке. Пользуясь правилом построения дифференциальных уравнений на основе графа состояний, получим систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний вида
В установившемся режиме имеем
В результате получим из (6.1) систему алгебраических уравнений вида
Из 1-го уравнения системы (6.4) имеем
где
Из 2-го уравнения системы (6.4) получим
Из 3-го уравнения системы (6.4) имеем
Для любого k < n получим
Для k = n имеем
Для k = n+1 имеем
Для k = n+2 имеем
Для k = n+r имеем
Из уравнения
имеем Откуда
Имеем
Введем обозначение
Пусть
Тогда
Соотношение (6.10) с учетом (6.11) – (6.13) примет вид
Определим среднее число заявок в очереди, умножая возможное число заявок в очереди на вероятность того, что именно это число заявок будет в очереди, и складывая результаты Учтем следующее равенство
Следовательно
Определим среднее время ожидания заявки в очереди Полученное соотношение с учетом (6.15) примет вид
Среднее число простаивающих каналов обслуживания заявок определяется формулой
Среднее время обслуживания
т.е. совпадает со средней длительностью обслуживания заявки. Среднее время пребывания заявки в СМО с ожидание
Среднее число занятых каналов
Значение критерия эффективности
где e н – штраф за неиспользование одного канала обслуживания. Загрузка СМО
Среднее число заявок в СМО
Рассмотрим еще один класс СМО – СМО замкнутого типа. Для замкнутых СМО характерно конечное число заявок, циркулирующих в системе “источник заявок – СМО”. Параметры суммарного входного потока заявок СМО зависят от состояния самой СМО. Примером замкнутой СМО может служить вычислительная система оперативной обработки с диалоговым режимом работы. Система оперативной обработки содержит М терминалов Т 1 -ТМ, за каждым из которых работает пользователь П, формирующий запросы на обслуживание заявки (рис. 6.2). Обслуживание запросов выполняется совокупностью из n однотипных ЭВМ (n ≤ М), рассматриваемых без детализации внутренней структуры как каналы с длительностью обслуживания, распределенной по экспоненциальному закону с математическим ожиданием
Рис. 6.2
Формирование нового запроса пользователь начинает лишь после получения ответа на предыдущий запрос, причем время, необходимое пользователю для формирования очередного запроса, будем считать распределенным экспоненциально с математическим ожиданием Построим граф состояний такой СМО (рис. 6.3).
Возможные состояния системы будем связывать с числом пользователей, ожидающих ответа на сделанные запросы, т.е. с числом заявок, находящихся на обслуживании и в очереди: x 0 – в системе нет ни одной заявки, ЭВМ простаивают, все пользователи независимо друг от друга заняты подготовкой запросов; следовательно, интенсивность суммарного потока заявок, переводящего СМО в состояние x 1, равна M λ; x 1 – в системе одна заявка, обслуживанием которой занята одна ЭВМ, пославший запрос пользователь ждет ответа на свой запрос и не формирует новых запросов; следовательно, интенсивность потока перехода в состояние x 2 равна (M- 1)λ; интенсивность потока переходов в состояние x 0 связана с интенсивностью суммарного потока обслуживаний, равной произведению числа занятых ЭВМ на интенсивность потока обслуживаний одной ЭВМ, т.е. 1μ, …; xn – в системе n заявок, все ЭВМ заняты обслуживанием запросов пользователей, очереди на обслуживание еще нет, интенсивность суммарного потока заявок равна (M-n)λ, суммарного потока обслуживаний – n μ; xn+ 1 – в системе n+ 1 заявка, все ЭВМ заняты, одна заявка стоит в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна [ M- (n+ 1)]λ = [ M- (n+r)] λ, где r= 1 – длина очереди, суммарный поток обслуживаний имеет интенсивность n μ; xn+r – в системе n+r=M заявок, т.е. все пользователи сформировали и ввели в систему запросы на обслуживание, n ЭВМ обслуживает n заявок, r=M-n заявок находится в очереди на обслуживание, интенсивность суммарного потока заявок равна нулю, так как все пользователи ждут ответа на свои запросы, интенсивность суммарного потока обслуживания равна n μ. Предельные вероятности состояний:
Среднее число занятых каналов обслуживания
Среднее время ожидания заявки в очереди
Среднее время пребывания заявки в системе
где Среднее число заявок, связанных с системой
Зная
Загрузка системы
Значение критерия эффективности
где
|