![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема умножения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.
Аналогичное утверждение справедливо для любого числа независимых событий.
Пример. Два стрелка одновременно выстреливают в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0, 6, для второго – 0, 8. Найти вероятность того, что в мишени будет: а) одна пробоина; б) хотя бы одна пробоина. Решение. а) Прежде всего, укажем, когда может наступать интересующее нас событие, перебирая все возможные варианты. В мишени будет одна пробоина тогда и только тогда, когда первый стрелок попал и второй стрелок промахнулся или первый стрелок промахнулся и второй стрелок попал.
Пусть событие А – в мишени будет одна пробоина, событие
Откуда следует равенство вероятностей Так как события События По условию, б) Пусть Тогда, учитывая несовместность событий
Поэтому (см. теорему умножения вероятностей для независимых событий). Окончательно имеем
Отметим, что эта задача допускает и другое решение. Так как события
Но
Пример. В коробке лежат4 белых шара и 6 красных. Наудачу, один за другим из коробки извлекается 2 шара. Найти вероятность того, что среди них будет: а) один красный шар; б) менее 2-х красных шаров. Решение. а) Пусть событие А – среди двух извлеченных шаров – ровно один красный. Это событие наступает тогда и только тогда, когда первый из извлеченных шаров – красный, а второй – белый или первый шар – белый, а второй – красный. Напомним, что соединительный союз “или” соответствует сложению событий, союзы “и”, “а” соответствуют умножению событий. Тогда описание всех возможностей наступления события А равносильно следующему формальному равенству
где
Применяя теперь теорему умножения вероятностей, приходим к равенству
Для вычисления вероятностей из правой части последнего равенства используем классическое определение вероятности. Тогда б) Пусть m – число красных шаров среди двух извлеченных. Тогда искомой является вероятность Окончательно имеем Заметим, что вероятность Но Тогда
Домашнее задание (здесь и далее номера задач указаны по учебнику Н.Ш. Кремера “Теория вероятностей и математическая статистика”): 1.54, 1.58, 1.60, 1.61, 1.64, 1.69.
|