Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины аналогичны соответствующим формулам для дискретной случайной величины (см. § 3.3). Действительно, рассмотрим следующую таблицу.

	Дискретная случайная величина	Непрерывная случайная величина
Способ описания	Закон распределения	Плотность распределения

Таким образом, переходя при записи этих формул от дискретной к непрерывной случайной величине, суммирование заменяется интегрированием по всей числовой оси, а вместо вероятности используется плотность распределения .

Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Для нахождения и нам потребуется плотность распределения данной случайной величины (см. приведенные выше формулы). Получаем:

или

Тогда имеем

Геометрически, полученное значение математического ожидания есть абсцисса центра тяжести фигуры под графиком плотности распределения, т.е. абсцисса прямоугольного треугольника ОАВ (см. рис. 7; напомним, что центр тяжести треугольника есть точка пересечения медиан этого треугольника, а медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины).

Завершая решение, найдем дисперсию рассматриваемой случайной величины.