Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Евклидово пространство






Линейное пространство Rn векторов над полем Р вещественных чисел называется евклидовым, если в нем определена операция скалярного произведения, где каждой паре векторов Î Rn поставлено в соответствие число, обозначаемое через и обладающее следующими свойствами:

и только если .

Ортонормированный базис это базис { , i =1, …, n }, где (, )=0; (, )=1

В ортонормированном базисе координаты вектора могут быть выражены через скалярное произведение , т.е. xi является проекцией вектора на вектор . Действительно, , поскольку в силу ортонормированности

В ортонормированном и только в ортонормированном базисе евклидового пространства для векторов – столбцов чисел – скалярное произведение может быть определено как , где -вектор строка.

По аналогии с трехмерным пространством можно определить понятие длины или модуля вектора:

, и угла между векторами: .

Скалярное произведение в произвольном базисе представляется более сложной функциональной зависимостью

, где

Пример. Пусть , (рис. 7.2).

Матрица коэффициентов

В результате .

Рис. 7.2. Произвольный базис

В пространстве С [ a, b ] функций, определенных на отрезке [ a, b ] скалярное произведение

.

Из соотношений, характеризующих скалярное произведение векторов в пространстве непрерывных функций, следуют очень полезные в практических приложениях для предельных оценок


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.008 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал