Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Относительный базис
|
|
Определение. Система векторов 
называется базисом линейного пространства V относительно подпространства N, если она линейно независима относительно подпространства, и любой вектор линейного пространства можно представить в виде суммы линейной комбинации этих векторов и вектора из подпространства:
.
Теорема. Векторы образуют базис линейного пространства относительно подпространства тогда и только тогда, когда их объединение с базисом подпространства есть базис линейного пространства.
Доказательство: Þ Предположим, что система векторов – базис линейного пространства V относительно подпространства 
– базис N/K; 
. Тогда 
; 
. По предыдущей теореме векторы 
линейно независимы, и любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. они образуют базис V/K.
Ü Пусть 
– базис подпространства N линейного пространства V/K; – базис V/K; . Тогда
, где 
.
Векторы линейно независимы относительно подпространства по предыдущей теореме, поэтому образуют относительный базис. ■
Замечание. Теорема дает путь построения относительного базиса. Выберем базис подпространства и достроим его до базиса всего линейного пространства.
Пример. Пусть е 1, е 2, е 3, е 4 – базис линейного пространства V, а подпространство N порождено векторами f 1 = e 1 + e 2 + e 3, f 2 = e 1 + e 3. Векторы f 1, f 2линейно независимы. Линейно независимы также векторы f 1, f 2, e 1, e 4. Это следует, например, из того, что ранг матрицы,
составленной из координат векторов равен 4. Таким образом, f 1, f 2, e 1, e 4 – базис линейного пространства, а e 1, e 4 – относительный базис.
Теорема. Относительную линейно независимую систему можно дополнить до относительного базиса.
Доказательство. Предположим, чтосистема векторов e 1 ,..., ek линейно пространства в V относительно подпространства N, f 1 ,..., fs - базис N. Тогда векторы е 1,..., еk, f 1,..., fs линейно независимы в V. Дополним их до базиса линейного пространства V. Отбросив от этого базиса базис подпространства, получим базис линейного пространства V относительно подпространства, включающий векторы e 1,..., ek. ■
Теорема. Если в линейном пространстве V/K задана строго возрастающая последовательность подпространств
{q} Ì N 1 Ì N 2 Ì... Ì Nt = V,
то объединение всех относительных базисов Ni относительно Ni -1для i от 1 до t является базисом линейного пространства V/K.
Доказательство. Применим последовательно несколько раз первую теорему этого параграфа. ■