Число .

Покажем, что последовательность имеет предел. Для этого нодо показать, что она возрастающая и, что она ограничена сверху. Для преобразования -го члена последовательности воспользуемся Биномом Ньютона:

При увеличении число слагаемых увеличивается, и каждое слагаемое увеличивается, значит, наша последовательность возрастающая. Далее имеем

, т.е. наша последовательность ограничена сверху. В последнем выражении мы использовали неравенство , которое можно доказать методом математической индукции, а также формулу суммы геометрической прогрессии. Таким образом, наша последовательность имеет предел, который назвали числом .

Пусть задана последовательность . Выберем из нее бесконечное число элементов с номерами . Получим новую последовательность , которая называется подпоследовательностью последовательности .

Теорема. (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Так как ограничена, то она принадлежит отрезку . Разделим его на две равные части. По крайней мере, один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его через . Выберем какой-то элемент . Разделим на две равные части, снова хотя бы один из них содержит бесконечное число элементов. Обозначим его . Выберем какой-то элемент . Продолжим этот процесс. Получим систему вложенных отрезков и подпоследовательность . Система вложенных отрезков стремится к нулю, следовательно имеет общую точку , к которой и сходится полученная подпоследовательность. Действительно . Теорема доказана.

Теорема. (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась (имела конечный предел) необходимо и достаточно чтобы она удовлетворяла условию Коши: .

Доказательство. 1. (Необходимость). Пусть , тогда фундаментальна (удовлетворяет условию Коши).

Имеем Пусть , тогда .

2. (Достаточность). Фундаментальная последовательность сходится (имеет конечный предел).

Сначала покажем, что фундаментальная последовательность ограничена. Пусть , тогда, согласно условию Коши, , в частности . Так как , где , последовательность ограничена.

Согласно теореме Больцано-Вейерштрасса, из ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность .

Пусть . Имеем

В силу фундаментальности этой последовательности .

Если , то , то есть . Теорема доказана.

Пример. Покажем, что расходится.

Запишем отрицание к условию Коши: .

Пусть , тогда . Таким образом, , при котором выполняется отрицание условия Коши.