Функции, непрерывные на отрезке.

Определение. Функция непрерывна на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , а и .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена, т.е. .

Доказательство. Допустим, что функция не ограничена на отрезке . Тогда . Берем последовательно , получим: . Заметим, что . Последовательность ограничена, т.к. . По теореме Больцано-Вейерштрасса из можно выбрать сходящуюся подпоследовательность , т.е. , где . В силу непрерывности имеем: , где конечное число, согласно нашему предположению. Но мы уже получили, что , а значит, . Противоречие. Теорема доказана.

Теорема. (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то существует ее минимум и максимум на , т.е. существуют точки .

Доказательство. Докажем для максимума. По предыдущей теореме непрерывная на отрезке функция ограничена сверху некоторым числом , но тогда существует точная верхняя грань , т.е. . Полагая последовательно , получаем последовательность , такую, что . Так как последовательность ограничена, то существует подпоследовательность сходящаяся к . В силу непрерывности нашей функции . Если предел существует, то он единственный, т.е. .

Таким образом, точная верхняя грань достигается функцией в точке , т.е. в точке функция принимает свое максимальное значение. Теорема доказана.

Теорема. (О нулях непрерывной на отрезке функции). Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то на интервале имеется, по крайней мере, одна точка , такая, что .

Доказательство. Обозначим отрезок через . Разделим его пополам. Если в середине функция равна нулю, то теорема доказана. Если этого нет, то одна из половинок такая, что на концах функция имеет значения разных знаков. Обозначим именно эту половинку через . Продолжим эту процедуру. Мы либо наткнемся на точку , такую, что , либо получим систему вложенных стремящихся к нулю отрезков. Система таких отрезков по аксиоме непрерывности имеет общую точку . Покажем, что .

Пусть, например, . Но тогда по теореме о сохранении знака непрерывной функции . С другой стороны, для мы можем указать вложенный отрезок , где принимает разные знаки на концах отрезка. Противоречие.

Предположение тоже приводит к противоречию. Тогда по аксиоме порядка . Теорема доказана.

Вопросы к коллоквиуму по математическому анализу (1 семестр)

1.Множество действительных чисел.

2.Теорема о точной грани ограниченного множества.

3.Понятие числовой последовательности. Ее предел.

4.Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.

5.Арифметические операции над сходящимися последовательностями.

6.Точная верхняя грань последовательности. Теорема о пределе ограниченной сверху неубывающей последовательности.

7.Число е.

8.Теорема Больцано-Вейерштрасса.

9.Критерий Коши существования конечного предела последовательности.

10.Понятие функции действительного переменного. Предел функции.

11.Эквивалентность определений предела по Коши и по Гейне.

12. Критерий Коши существования предела функции.

13.Теорема об ограниченности функции, имеющей конечный предел.

14.Теорема о сохранении знака функции, имеющей конечный предел.

15.Теорема о зажатой функции.

16.Непрерывность функции. Непрерывность сложной функции.

17.Классификация точек разрыва. Примеры.

18.Замечательные пределы.

19.Сравнение бесконечно малых.

20.Ограниченность функции, непрерывной на отрезке.

21.Теорема Вейерштрасса.

22.Теорема о нулях непрерывной на отрезке функции.