Решение задачи о туннелировании в MATLAB

Наконец, повторим в MATLAB пример расчета прохождения частицы через одномерный прямоугольный потенциальный барьер [2, с. 101-102], разобранный в Теме 1. Программа вместе с результатами выполнения операторов имеет следующий вид.

> > syms E positive; syms epsilon x m h U0;

> > ode='D2f1+(2*m/h^2)*E*f1=0, D2f2+(2*m/h^2)*(E-U0)*f2=0, D2f3+(2*m/h^2)*E*f3=0'

ode =

D2f1+(2*m/h^2)*E*f1=0, D2f2+(2*m/h^2)*(E-U0)*f2=0, D2f3+(2*m/h^2)*E*f3=0

> > ics='f1(1)=f2(1), Df1(1)=Df2(1), f2(0)=f3(0), Df2(0)=Df3(0), f1(0)+i*f1(pi/2/sqrt(E))=2, f3(0)-i*f3(pi/2/sqrt(E))=0'

ics =

f1(1)=f2(1), Df1(1)=Df2(1), f2(0)=f3(0), Df2(0)=Df3(0), f1(0)+i*f1(pi/2/sqrt(E))=2, f3(0)-i*f3(pi/2/sqrt(E))=0

> > [f1, f2, f3] = dsolve(ode, ics, 'x');

> > S=subs(f3, {x, U0, m, h}, {0, 40, 1/2, 1});

> > T=S*conj(S);

> > fh=@(EE)subs(T, {E}, {EE});

> > fh(38), fh(50)

ans =

I

ans =

I

Отметим, что здесь, в отличие от программы в Maple, система уравнений с граничными условиями сначала решена с общими значениями , а затем в них подставлены значения 40, 1/2 и 1 соответственно (разумеется, то же самое можно было бы сделать и в Maple). Громоздкая распечатка выражений для волновых функций на этот раз, конечно, опущена. В результате подстановки и , для коэффициента прохождения T получили значения, совпавшие с результатом Maple. График также имеет знакомый вид:

Рис. 2.5. Изменение коэффициента прохождения в зависимости от энергии для потенциального барьера, показанного на рисунке 1.4, полученное в MATLAB

Проверим также соотношение (1.11), для чего вычислим коэффициент отражения (обозначим, как и выше, через ). Функция fs представляет собой сумму коэффициентов прохождения и отражения. Для ознакомления с циклами в MATLAB, произведем проверку не путем построения графика, а составим простейший цикл, выводя значения fs для пяти различных значений аргумента E:

> > r=subs(f1, {x, U0, m, h}, {0, 40, 1/2, 1})-1;

> > r2=r*conj(r);

> > fs=@(EE)subs(r2+T, {E}, {EE});

> > N=5; for k = 1: N, V = fs(k*4*40/N), end

V =

1.0000

V =

I

V =

I

V =

I

V =

I.

Список литературы к теме 2

Использованная литература:

1. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. MATLAB 7. Самоучитель. – М.: Изд-во НТ Пресс, 2006 г. – 464 с.

2. Мессиа Аьберт Квантовая механика. – М.: Наука, 1978. – 480 с.

Рекомендованная литература:

1. Мартынов Н.Н. MATLAB 7. Элементарное введение. – М: Кудиц-Образ, 2005г. – 416 с.

2. Поршнев С.В. MATLAB 7. Основы работы и программирования. Учебник. – М.: Изд-во " Бином. Лаборатория знаний", 2006г. – 320 с.

3. Плохотников К.Э., Волков Б.И., Задорожный С.С., Антонюк В.А. Редактор К.Э. Плохотников. Методы разработки курсовых работ. Моделирование, вычисления, программирование на С++ и MATLAB, виртуализация, образцы лучших студенческих курсовых работ. – М.: Изд-во Солон, 2006. – 320 с.