Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Многогранники
|
|
На комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер с учетом видимости.
Задача. Построить проекции многогранника по заданным вершинам. Найти недостающие проекции точки М, принадлежащей поверхности многогранника (рис.55).
Алгоритм решения
1.Построив профильные проекции вершин пирамиды, соединяем одноименные проекции вершин отрезками и получаем проекции пирамиды. Видимость ребер и граней определяем по представлению. На П1 видны боковые ребра и грани пирамиды, т.к. вершина S располагается над основанием АВС. Рассматривая горизонтальную проекцию совместно с направлением на П2, определяем, что видимыми на П2 являются грани ASB и BSС, а грань АSC и её ребро АС – невидимы. Аналогичным образом определяем, что на П3 невидимыми являются ребра прилегающие к вершине С.
2. Строим недостающие проекции точки М, принадлежащей пирамиде, используя признак принадлежности точки гранной поверхности: точка принадлежит поверхности многогранника, если лежит на прямой, принадлежащей какой-либо грани этой поверхности. Точка М видима на П2 (её проекция не заключена в скобки), следовательно, она лежит в грани ASB. Проводим в этой грани через М2 произвольную прямую, например, S212 , строим остальные проекции прямой и по принадлежности им находим недостающие проекции точки. Т.к. грань ASB видима на всех проекциях, то и точка М везде является видимой.
7.1.Пересечение многогранника плоскостью
При пересечении многогранника плоскостью получают многоугольник, вершины которого - точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а стороны - линии пересечения его граней с той же плоскостью (рис.56).
Задача. Построить проекции и НВ сечения пирамиды SАВС плоскостью S (S1) (рис.57).
Алгоритм решения
1.Так как S - горизонтально проецирующая плоскость, то отрезок ее вырожденной проекции S1, лежащий внутри очерка пирамиды, - горизонтальная проекция сечения. Вершины сечения сначала находим на П1, как результат пересечения S1 с проекциями ребер, а затем на П2 - по принадлежности ребрам.
2. Найденные одноименные проекции вершин сечения соединяем отрезками, руководствуясь правилом: отрезками прямых можно соединять только точки, лежащие в одной грани многогранника.
3. НВ сечения определяем способом замены плоскостей проекций:
П2 
П4 
S, П1 / П2 (x12) П1 / П4 (s14 S1)
4. Видимость на чертеже определяем по представлению. Из двух скрещивающихся ребер SB и АС при взгляде сверху ближе к наблюдателю SB, поэтому АС на П1 невидимо. На П2 невидимой является грань ASC и лежащая в ней сторона сечения (12).
Задача. Построить сечение призмы ABC плоскостью D(m 
n) общего положения (рис.58).
Алгоритм решения
1. Т.к. боковые грани и ребра призмы – горизонтально проецирующие, то горизонтальная проекция сечения DEF совпадает с горизонтальным очерком призмы, а горизонтальные проекции вершин - с горизонтальными проекциями боковых ребер: D1= A1, E1= B1, F1= C1.
2. На остальных плоскостях проекций вершины находим по принадлежности их секущей плоскости D(m n), проводя в ней прямые, проходящие через горизонтальные проекции вершин. Например, для нахождения фронтальных проекций вершин D и E продолжаем сторону сечения D1Е1 до пересечения с проекцией прямой m1(D1Е1 m1=11 ), находим 12 
m2 и проводим через неё прямую, параллельную n2, т.к. судя по горизонтальной проекции, n DE. На пересечении этой прямой с ребрами А и В и расположены проекции вершин D2 и E2 Вершину F находим с помощью прямой 23.
3. Видимость на П2 определяем по представлению. При взгляде на П2 прямая m располагается за призмой и часть её, лежащая внутри очерка призмы, будет на П2 невидима. Соответственно, верхние части боковых ребер А, В и С будут видны вплоть пересечения их с плоскостью D (m n) в точках D, E, F. Невидимой на П2 будет и грань АС призмы и лежащая в ней сторона сечения DF.
Задача. Построить проекции сечения наклонной призмы плоскостью q (m 
n) (рис.59).
Алгоритм решения
Т.к. секущая плоскость, грани и ребра призмы - общего положения, то вершины сечения находим по алгоритму решения первой основ-ной позиционной задачи: а) заключаем ребра призмы в проецирующие плоскости; б) находим линии пересечения заданной и вспомогательных плоскостей; в) находим точки пересечения ребер с соответствующими построенными линиями пересечения.
1. Для нахождения точки пересечения ребра А с плоскостью q заключаем ребро во фронтально проецирующую плоскость S (S2= l2). Находим на П1 линию l пересечения S с заданной плоскостью q по двум точкам 1 и 2 пересечения S с прямыми m и n плоскости q:
1=S 
m, 2=S n, 1 l 
2.
Находим точку D пересечения построенной линии пересечения l с ребром А:
D1 = А1 l1, D2 А2.
2. По аналогичному алгоритму с помощью фронтально проецирующих плоскостей D(D2) и L (L 2) находим точки Е и F пересечения ребер В и С с секущей плоскостью q. При этом, т.к. вспомогательные секущие плоскости S, D и L параллельны, то они пересекают призму по параллельным прямым. Поэтому для построения горизонтальных проекций прямых р1 и к1 достаточно построить на П1 по одной точке им, им принадлежащей (31 и 41 ).
3. Остальные ребра призмы плоскостью q не пересекаются, таким образом, сечение призмы представляет собой треугольник D, Е, F. Соединяем одноименные проекции построенных вершин и получаем проекции сечения.
4. Видимость элементов чертежа определяем по представлению. Для определения видимости на П2 рассматриваем горизонтальную проекцию совместно со стрелкой – направлением взгляда на П2 . Прямая m располагается за призмой и ее часть, расположенная внутри очерка призмы невидима. Следовательно, участки боковых ребер, расположенные выше точек D, Е, F будут видны на П2. Все остальные участки ребер призмы, а также грань АВ и сторона сечения DF, в ней расположенная, на П2 невидимы. При взгляде сверху видимыми будут участки ребер призмы, расположенные выше секущей плоскости q (на П1 это участки боковых ребер, расположенные правее точек D1, Е1, F1), а также стороны сечения DЕ и DF, расположенные на видимых сверху гранях АВ и АС. Сторона ЕF, расположенная в невидимой сверху грани ВС, будет невидима.
7.2.Пересечение многогранника прямой
Алгоритм решения (рис.60)
1. Через прямую проводим вспомогательную секущую плоскость: lÌ S.
2. Строим сечение многогранника плоскостью: DEF = Фмн S.
3. Определяем точки пересечения прямой с построенным сечением: M, N = l D DEF.
Задача. Найти точки пересечения прямой l с пирамидой SАВС (рис.61).
Алгоритм решения приведен выше:
1. lÌ S Þ. l2 = S 2.
2. DEF = Фмн S Þ D2 = S2 A2 S2, D1 A1S1
E2 = S2 B2S2, E1 B1S1
F2 = S2 С2S2, F1 C1S1.
3. M, N = l D DEF Þ M1 = l1 D1E1 , M2 l2
N1 = l1 F1E1 , N2 l2 .
Видимость определяем по представлению. Грани АSB и BSC видимы на обеих проекциях, значит, видимы и точки M и N, в них лежащие и прилегающие к точкам участки прямой l. Невидимым является только участок прямой, лежащий внутри пирамиды. На П1 невидимым будет ребро АС пирамиды: скрещивающееся и конкурирующее с ним в видимости ребро SB расположено ближе к наблюдателю.
7.3.Взаимное пересечение многогранников
Линией пересечения двух многогранников является пространственная замкнутая ломаная, вершины которой - точки пересечения ребер одного многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого, а сторонами - линии взаимного пересечения граней многогранников.
При взаимном пересечении двух многогранников могут встретиться два случая: врезка и проницание. Врезкой называется случай, когда ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью (рис.62а). Проницанием называется случай, когда одна из поверхностей полностью пересекается другой поверхностью (рис.62б). В случае врезки линия пересечения состоит из одной ломаной, а в случае проницания - из двух.
Задача. Построить проекции линии пересечения пирамиды с поверхностью призматического отверстия (рис.63). 
Алгоритм решения
1. Т.к. поверхность призматического отверстия полностью пересекается поверхностью пирамиды (случай проницания), то линия пересечения (ЛП) состоит их двух пространственных замкнутых ломаных. Боковые грани призмы - фронтально проецирующие, поэтому фронтальная проекция ЛП совпадает с фронтальной проекции призматического отверстия, при этом проекции обеих фронтально конкурирующих контуров ЛП совпадают.
2. Находим вершины ломаной - точки пересечения ребер призмы с поверхностью пирамиды. Т.к. ребра призмы фронтально проецирующие, точки пересечения их с поверхностью пирамиды (каждое ребро пересекает пирамиду дважды) на П2 совпадают с проекциями самих ребер: п2 = 12 = 2, m2 = 32 = 42., l2 = 52 = 62. Горизонтальные проекции найденных точек находим методом вспомогательных секущих плоскостей:
а) проводим плоскость Г (Г2) через ребро n параллельно основанию пирамиды,
б) строим сечение k пирамиды этой плоскостью: на П2 - k2 =, ана П1 проекция сечения k1 будет представлять собой квадрат, стороны которого параллельны сторонам основания, т.к. боковые грани пирамиды параллельными плоскостями пересекаются по параллельным пря-мым. Для построения этого сечения на находим его вершину - точку 7 сначала на П2 –
72= Г2 А2 , а затем и на П1 по принадлежности ребру А пирамиды - 71 А1.
в) построив квадрат k1 , по принадлежности ему находим горизонтальные проекции точек 1 и 2.
По аналогичному алгоритму с помощью вспомогательной плоскости Г*(Г*2) находим горизонтальные проекции точек 3, 4, 5, 6.
Профильные проекции найденных вершин находим по двум известным, либо построив для каждой из них прямоугольник ортогонального чертежа (рис.8), либо используя более простой и точный метод, применяемый в инженерной практике. Выбирается базовая плоскость для отсчета нужных размеров вдоль оси y13. Если фигура имеет плоскость симметрии, то базовую плоскость проводят обычно через неё. В нашем варианте за такую плоскость принимаем фронтальную плоскость Ф, проходящую через ось пирамиды, задавая её вырожденными проекциями Ф1 и Ф3. Для построения профильной проекции какой - либо точки (например, 1) замеряется расстояние между Ф1 и 11 (
)и откладывается на П3 по соответствующей горизонтальной линии связи от Ф3 вправо (для чего наличие К0 нужно всегда иметь в виду, даже если она не нанесена на чертеже) и получаем проекцию 13 .
3. Находим вершины ломаной 9, 10, 11 12, - точки пересечения ребер пирамиды B и D с поверхностью призмы. Находим сначала на П2 как результат пересечения проекций этих ребер пирамиды с вырожденными проекциями граней пm и ml призмы. Проекции этих вершин на П1 и Пз находим по принадлежности ребрам пирамиды сначала на Пз, а затем и на П1 методом, описанным выше..
4. Соединяем найденные вершины отрезками прямых, руководствуясь правилом: соединять отрезками можно только вершины, лежащие в одной грани призмы и одной грани пирамиды. Во избежание ошибок составляем последовательность соединения вершин: 1-5-11-3-9-1 и 2-6-12-4-10-2.
5. Определяем видимость ЛП и ребер поверхностей по представлению. О видимости ЛП на фронтальной проекций уже говорилось выше: видимый и невидимый контуры ЛП совпадают, как и видимые и невидимые ребра пирамиды. При взгляде сверху (на П1) все звенья ЛП видимы, т.к. лежат на видимых боковых гранях пирамиды. Ребра пирамиды являются видимыми, кроме участков 91111 и 101121 , вырезанных отверстием. Ребра призматического отве-рстия проходят внутри пирамиды и невидимы. На П3 видимыми будут звенья ЛП (93 33 113)и (103 43 123), лежащие на видимых слева (см. П2 совместно со стрелкой – направлением взгляда на П3 ) гранях пирамиды AB и AD. Остальные звенья ЛП лежат на невидимых слева гранях пирамиды ВС и СD и являются невидимыми, но т. к. часть пирамиды вырезана, то участки звеньев ЛП 1353 и 2363, которые не закрыты оставшимся материалом пирамиды (ограниченным звеньями 93 33 113 и 103 43 123) будут видны. Видимость ребер поверхностей на П3 такая же, как на П1 .
8. КРИВЫЕ ЛИНИИ
В начертательной геометрии кривую линию рассматривают как траекторию непрерывно движущейся точки. Кривые могут быть: плоскими и пространственными. Кривые могут быть заданы либо алгебраической или трансцендентной функцией, либо графически. Порядок кривых может быть определен степенью алгебраического уравнения; по числу точек пересечения кривой с прямой линией (для плоских кривых); по числу точек пересечения кривой с плоскостью (для пространственных кривых). В начертательной геометрии кривые линии задаются на чертеже их проекциями.
Чтобы определить, какая - плоская или пространственная - кривая задана на чертеже, нужно провести две секущих, одноименные проекции которых бы пересекались, и определить их взаимное положение: если они пересекаются, то кривая плоская, если скрещиваются - пространственная. На рис.64 изображена пространственная кривая, т.к. секущие АВ и CD скрещивающиеся: точки пересечения одноименных проекций не лежат на одной линии связи.
8.11.Плоские кривые. Касательные и нормали
Направление движения точки в каждом ее положении определяется касательной прямой t в данной точке А кривой линии (рис.65).Касательной прямой t в точке A кривой называется предельное положение секущей AA*, когда A* оставаясь на кривой m, стремится к точке A. Кривая называется гладкой, если она во всех своих точках имеет непрерывно изменяющуюся касательную, которая в каждой точке кривой единственная. Нормалью n к кривой в точке A называется прямая, лежащая в плоскости кривой m и перпендикулярная к касательной t этой точке.
На кривых различают особые точки (рис.66):
А - точка возврата 1-го рода, В - точка возврата 2-города, С – точка перегиба, D – кратная точка, Е – точка излома.
8.2.Основные свойства проекций плоских кривых линий
- Порядок плоской алгебраической кривой при параллельном проецировании не изменяется.
- Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные точки ее проекции.
- Касательная к кривой проецируется в касательную к ее проекции.
- Точки пересечения плоских кривых проецируются в точки пересечения их проекций.
8.3.Проецирование окружности
Если 
плоскость окружности параллельна какой-либо плоскости проекций, то она проецируется в неё в натуральную ве-личину. В прочих случаях окружность проецируется с искажением.
Если окружность лежит в про-ецирующей плоскости S (рис.67), то в плоскость проекций, перпен-дикулярную плоскости S, окруж-ность проецируется в виде отрез-ка, равного диаметру окружности (А1В1=АВ) на вырожденной про-екции S1.
В плоскости проекций, к кото-рым плоскость S наклонена, ок-ружность проецируется в виде эл-липса.
При этом:
· центром эллипса О2 является проекция центра О окружности,
· большой осью эллипса будет проекция того диаметра окружности, который параллелен плоскости проекций и проецируется в неё в натуральную величину (С2D2 = CD),
· малой осью эллипса будет проекция того диаметра окружности, который проецируется с наибольшим искажением в рассматриваемую плоскость проекций. На рис.67 это диаметр АВ, который лежит на линии наибольшего наклона плоскости S к П2.
Задача. Построить проекции окружности радиуса R, расположенной в горизонтально проецирующей плоскости S (рис.68).
Алгоритм решения
1. Так как плоскость S окружности горизонтально проецирующая, то в П1 окружность проецируется в виде отрезка на вырожденной проекции S1 плоскости, длина которого равна 2 R, а на П2 – в эллипс (см. выше рис.67), оси которого– проекции диаметров окружности: большая ось - проекция диаметра CD, который проецируется на П2 в натуральную величину 2 R (лежит на горизонтально проецирующей прямой); малая ось - проекция диаметра АВ, который проецируется с наибольшим искажением (расположен на линии наибольшего наклона к П2, в данном случае это горизонталь, фронтальная проекция которой параллельна оси x12).
2. Для построения случайных точек эллипса П2 заменяем на П4, располагая последнюю параллельно плоскости S окружности (на рис.68 П4 совмещена с плоскостью окружности S):
П2 П4 S, П1 / П2 (x12) П1 / П4 (s14 S1)
В системе П1 / П4 нам известны обе проекции окружности и можно взять любую точку на окружности, например 14, а затем построить ее проекции в П1 и П2 по алгоритму построения проекции точек при замене плоскостей проекций (см. стр.21, рис.44). Построив 12, можно воспользоваться свойством симметрии эллипса и построить ещё три точки, симметричные 12 относительно осей А2В2 и C2D2. Соединив лекалом построенные на П2 точки, получим эллипс – фронтальную проекцию окружности.
Задача. Построить проекции окружности расположенной в плоскости общего положения (рис.69).
Алгоритм решения
В обе плоскости проекции окружность проецируется в виде эллипсов. Большие оси эллипсов - это проекции диаметров окружности, лежащих на прямых уровня, а малые - проекции диаметров, лежащих на прямых наибольшего наклона плоскости окружности к соответствующей плоскости проекций.
1. Строим горизонтальную проекцию окружности. Большая ось эллипса располагается на горизонтали h*, поэтому на h1* откладываем от проекции центра окружности О1 величины радиуса R (помечено значком 
), и получаем А1В1 – большую ось эллипса. Проводим линию n наибольшего наклона к П1: О1 n1 ^ h1*, О2 n2 
12.
На прямой наибольшего наклона радиус окружности проецируется с искажением и чтобы отложить его, используем способ прямоугольного треугольника (см. стр.10, рис.14):
· определяем НВ отрезка (О1), взяв в качестве первого катета горизонтальную его проекцию (О111), а в качестве второго разность высот D h его концов;
· на гипотенузе О110 (НВ отрезка (О1)) откладываем от точки О1 радиус R () и получаем точку С0;
· проведя через С0 линию, параллельную h1 , находим на О111 точку С1: отрезок О1С1 – малая полуось эллипса; точку D1, лежащую на другом конце малой оси, находим из условия симметрии - О1С1= О1D1.
Фронтальные проекции точек A, B, C, D находим по принадлежности прямым h2* и n2 соответственно.
2.Строим фронтальную проекцию окружности по аналогичному алгоритму.
3. Одноименные проекции построенных точек А, В, С, D, E, F, G, H соединяем лекалом дугами эллипса.
8.4.Цилиндрическая винтовая линия
Цилиндрическая винтовая линия или гелиса образуется перемещением точки, совершающей равномерное поступательное движение по образующей цилиндра вращения, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг оси цилиндра. Винтовая линия задается радиусом основания R цилиндра и шагом h – величиной перемещения точки по образующей при повороте её вокруг оси на 3600 (рис.70).
Чтобы построить проекции винтовой линии, окружность и шаг разбиваются на n равных частей 
(например, на 8, как на рис.70). Поворот точки на 1/n части окружности соответствует ее перемещению вдоль оси цилиндра на 1/n части шага: если формирующая кривую точка А из исходного положения (0) переместится в положение 1, то проекция А1 окажется в точке 1 окружности, а её фронтальная проекция А2 – на горизонтали под тем же номером. Последовательно перемещая горизонтальную проекцию точки А1 в следующие положения, строим соответствующие фронтальные её проекции, соединив которые плавной кривой получаем фронтальную проекцию винтовой линии – синусоиду.