Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Взаимное пересечение поверхностей
|
|
11.1.Пересечение криволинейной и гранной поверхностей
Линией пересечения (ЛП) криволинейной и гранной поверхностей является пространственная замкнутая ломаная, вершинами которой являются точки пересечения ребер многогранника с криволинейной поверхностью, а звенья - линии пересечения криволинейной поверхности с гранями многогранника. В случае врезки ЛП состоит из одной ломаной, в случае проницания - из двух (рис.80).
Особые точки ЛП:
· вершины ломаной – точки пересечения ребер многогранника с поверхностью вращения;
· опорные точки (граничные точки видимости) - точки пересечения очерковых образующих криволинейной поверхности с гранной поверхностью;
· особые точки кривых - звеньев ЛП: центры, вершины, точки на концах осей и т.д.
Построение ЛП сводится к двум выше уже рассмотренным выше задачам: а) построить точки пересечения прямой с поверхностью и б) построить сечение поверхности плоскостью.
Задача. Построить проекции конуса с призматическим вырезом (рис.81).
Алгоритм решения
1. Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. ни одна из поверхностей не пересекает другую полностью, то данный случай - врезка и ЛП состоит из одной ломаной.
Звенья ЛП – конические сечения: грань призмы Г (Г2 ), перпендикулярная оси конуса,
пересекает конус по дуге окружности; грань призмы L (L2), плоскость которой проходит через вершину конуса, - по образующим конуса; грань призмы S (S2), наклоненная к оси конуса (b> a), - по дуге эллипса.
Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П2 проекция ЛП совпадает с проекцией призматического выреза.
2. Находим особые точки ЛП сначала на известной фронтальной проекции:
-вершины ломаной – точки пересечения ребер n и m c поверхностью конуса - совпадают с проекциями самих ребер, т.к. ребра – фронтально проецирующие: n2 = 12 =22, m2 = 32 =42.
-центр О (О2) и точки на концах осей эллипса. Продлив грань S (S2) до пересечения с очерковой образующей S2 B2 находим фронтальную проекцию большой оси эллипса 52 62, разделив которую пополам находим центр О (О2) и точки 72= 82 на концах малой оси.
- граничные точки видимости находим как результат пересечения вырожденных про-екций граней призматического отверстия с очерковыми образующими конуса: граничные точки видимости на П2 – 52 = S2А2 
S2, 132 = S2А2 Г2 , граничные точки видимости на
П3 – 92 = S2 C2 S2 , 102 = S2 D2 S2 , 112 = S2 C2 Г2 , 122 = S2 D2 Г2.
На остальных проекциях найденные на П2 точки находим либо по их принадлежности образующим, на которых они расположены, либо по их принадлежности конусу. Например, точки 7 и 8 находим, проведя параллель радиуса r. При этом для достижения требуемой точности построений не рекомендуется пользоваться постоянной чертежа к0 и ломаными линиями связи между П1 и П3 (см. задачу на рис.77).
3. Случайные точки (на дуге эллипса) выбираем произвольно на П2, а другие их проекции находим по принадлежности поверхности конуса, как точки 7, 8.
4. Построенные точки соединяем с учетом их видимости на проекциях, определяя види-мость по представлению. При взгляде сверху ЛП видима полностью, не видны только ребра m и n отверстия. На П2 видимые и невидимые части ЛП совпадают. При взгляде слева (на П3) видимы части ЛП, лежащие на левой половине конуса, а также участки прямых (13) и (24) из-за отсутствия материала, их закрывающего.
Задача. Построить проекции сферы с призматическим вырезом (рис.82).
Алгоритм решения
1. Определяем тип линии пересечения (ЛП). Т.к. поверхность сферы пересекает поверх-ность призматического отверстия полностью, то данный случай - проницание (а точнее – граничный случай, т.к. одно из ребер призмы не пересекает, а касается сферы) и ЛП состоит из одной ломаной, звеньями которой являются дуги окружностей.
Грани Г (Г2 ) и D (D 2 ) параллельны П1 и расположенные в них сечения сферы проециру-ются в П1 в натуральную величину в виде дуг окружностей, а в П3 — в виде горизонтальных отрезков. Грань S (S2 ) наклонена к П1 и П3 и дуга окружности, в ней расположенная, проеци-руется в эти плоскости проекций в виде дуг эллипса. Грань L (L2) параллельна П3 и располо-женное в ней сечение сферы проецируется в П3 в натуральную величину в виде дуг окружно-стей, а ви П2 — в виде отрезков.
2. Т.к. грани призмы фронтально проецирующие, то на П2 нам известна проекция ЛП: она совпадает с проекцией призматического выреза и мы можем отметить все особые точки ЛП: вершины 1, 2, 3, 4, граничные точки видимости на П1 (5, 6) и на П3 (4, 7), а также центр окружности О, расположенной в грани S (S2 ), и её горизонтальный диаметр 8-8 /. Проекции центра О2 и точек 82 и 82 / можно найти либо делением пополам диаметра 1-1*=11-11*, либо как результат пересечения вырожденной проекции грани S 2 с опущенным на неё из центра сферы О2* перпендикуляром.
Т.к. три из четырёх граней призматического отверстия пересекают сферу по геометри-чески простым линиям (окружностям), которые в свою очередь проецируются в виде геомет-рически простых линий, то оптимальным алгоритмом решения является построение сразу проекций этих линий на П1 и П3 с попутным нахождением проекций особых точек ЛП.
Для построения горизонтальной проекции дуги окружности в грани Г(Г2) необходимо найти её центр и радиус. Центр дуги находим как результат пересечения вырожденной про-екции грани Г2 с вертикальной осью сферы, а её радиус RГ равен расстоянию от центра до 
очерка сферы. Построив на П1 окружность радиусом RГ находим по принадлежности ей осо-бые точки ЛП: 11 - проекцию точки, общей для двух ветвей ЛП; 21 и 21 / - вершины ЛП и точки 71 и 71 / - граничные точки видимости на П3. Дугу 21-11-21 / проводим сплошной основной линией, т.к. она расположена на верхней полусфере и видима на П1.
Для построения профильной проекции дуги окружности в грани Г находим точки 13, 73 и 7 3 / как результат пересечения её вырожденной проекции Г3 спроекциями главного меридиана т3 и профильного очерка р3 сферы соответственно. Точки 2з и 2з' находим, откладывая на Г3 от вырожденной проекции плоскости симметрии Ф3 отрезки, равные расстоянию между горизонтальной вырожденнойпроекцией Ф1 и проекциями точек 21 и 21/. Т.к. дуги 2-7 лежат на левой полусфере, то на П3 они видимы, и поэтому соединяем их сплошной основной линией, а дуга 73 - 13 -73/ невидима на П3, т.к. лежит на правой полусфере.
По аналогичному алгоритму строим горизонтальные и профильные проекции дуг окружностей, расположенных в гранях D и L.
3. Для построения горизонтальной и профильной проекций дуги окружности в грани S, которая проецируется на П1 и П3 в виде дуг эллипса, необходимо найти принадлежащие им проекции особых точек. Проекции центра эллипса О1 и О3 находим, используя уже найденную его проекцию О2, по принадлежности вырожденным проекциям плоскости симметрии Ф (Ф1, Ф3,). Проекции точек 8 и 8 / на П1 и П3 находим из условия равенства диаметров окружности 1-1* = 12 -12* = 8 - 8 /= 81 - 81/ = 83 - 83/. Проекции точек 1, 4 и 4', 6 и 6' находим по принадлежности соответствующим очеркам сферы. Сначала находим профильные проекции точек 43, 43/ по принадлежности меридиану p3 , а затем – их горизонтальные проекции 41, 41 /, отложив на p1 от Ф1 отрезки, равные расстоянию между проекциями 43, 43/ и Ф3. Проекции точек 6 и 6' находим аналогичным образом сначала на П1 , а затем на Ф3.
Случайные точки эллипса на П1 и П3 можно построить либо методом секущих плоскостей (как точки 1, 2, 7), либо используя свойство симметрии эллипса. Например, строим точку 41 *, симметричную относительно оси эллипса 81- 81 /ранее найденной точке 4.
4. Построенные точки эллипса соединяем плавной кривой с учетом их видимости на проекциях, определяя видимость по представлению. Участок эллипса 1-6 лежит на верхней полусфере и виден на П1. Остальная часть эллипса, лежащая на нижней полусфере, также ви-дима сверху, т.к. не закрывается остатком верхней полусферы, ограниченным окружностью RГ. Аналогично строим профильную проекцию эллипса и определяем его видимость. При этом часть проекции эллипса, заслоняемую остатком левой полусферы, ограниченным окружностью радиуса RL.
5. Достраиваем горизонтальную и профильную проекции сферы с отверстием с учетом видимости очерков поверхностей. Часть горизонтального очерка - экватора п - между точка-ми 5 и 6 вырезана отверстием (см. проекцию на П2), а остальная часть экватора видима и обводится сплошной основной линией. По аналогичной причине отсутствует часть профиль-ного очерка сферы между точками 4 и 7. Ребра призматического отверстия проходят внутри сферы и на П1 и П3 невидимы.
11.2.Пересечение поверхностей вращения второго порядка
Линия пересечения поверхностей вращения 2-го порядка в общем случае – про-странственная замкнутая кривая 4-го порядка, состоящая из двух линий в случае прони-цания или из одной - в случае врезки.
Особые точки ЛП - точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой поверхностью и точки пересечения очерковых линий второй поверхности с первой поверхностью.
Точки ЛП в общем случае находятся способом вспомогательных секущих поверх-ностей-посредников, в роли которых могут выступать плоскости и сферы.
11.2.1.Способ секущих плоскостей (рис.83)
1.Проводится вспомогательная плоскость S, пересекающая обе поверхности по гео-метрически простым линиям, которые проецируются также в виде геометрически простых линий (прямых или окружностей).
2. Строятся линии m и n пересечения поверх-ностей D и Ф плоскостью S: m = Ф S, n =D S.
3. Находятся точки 1 и 2 пересечения построен-ных линий пересечения m и n: 1, 2 = m n.
Это и есть искомые точки ЛП заданных поверхностей D и Ф. Проведя достаточное число секущих плоскостей, находим достаточное количество точек ЛП.
Задача. Построить линию пересечения сферы и конуса (рис.84).
Алгоритм решения
1. Определяем тип линии пересечения. Пересекаются поверхности вращения 2-го порядка, случай врезки: ЛП - одна замкнутая пространственная кривая 4-го порядка. Обе поверхности имеют общую фронтальную плоскость симметрии. Следовательно, фронтальные проекции видимой и невидимой на П2 ветвей ЛП - совпадают и замкнутая кривая на П2 проецируется в виде разомкнутой.
2.Построение особых точек ЛП.
Главные меридианы сферы m и ASB конуса лежат в одной плоскости (фронтальной плоскости симметрии) и, следовательно, пересекаются. Поэтому граничные точки видимости на П2 находятся как результат пересечения проекций главных меридианов сферы и конуса:
12, 22 = m2 A2S2..
На П1 эти точки находятся по принадлежности меридианам.
Точки пересечения горизонтального очерка сферы (экватора n) с конусом находим методом вспомогательных секущих плоскостей:
· проводим плоскость Г(Г2) через экватор сферы,
· строим линии пересечения сферы и конуса: cфера пересекается по экватору n, который уже построен на обеих проекциях, а конус – по окружности радиуса RГ,
· находим проекции точек 31 и 41 пересечения этих окружностей на П1, а затем фронтальные проекции этих точек по принадлежности Г2.
3. Случайные точки ЛП находим тем же способом, что и точки 3 и 4, проводя горизонтальные секущие плоскости S и D. При этом для упрощения построений проводим их на
4. Видимость ЛП и очерков поверхностей определяем по представлению.
11.2.2.Способ концентрических секущих сфер
В основе способа - теорема: две соосные поверхности вращения (рис.85) пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных полумеридианов m и n поверхностей. Эти окружности являются общими для обеих соосных поверхностей параллелями, плоскости которых перпендикулярны общей оси вращения.
Это обстоятельство позволяет использовать в качестве вспомогательных секущих элементов не плоскости, а сферические поверхности.
Способ секущих сфер применяется в случае,
- если решение задачи методом секущих плоскостей либо невозможно, либо графически усложнено,
- если оси заданных поверхностей пересекаются: можно провести сферу, соосную обеим поверхностям,
- если оси заданных поверхностей образуют общую плоскость симметрии, параллельную какой-либо плоскости проекций: окружности - линии пересечения сферы с поверхностями - проецируются в виде простых линий окружностей и отрезков прямых.
Алгоритм построения ЛП поверхностей способом концентрических секущих сфер аналогичен алгоритму метода секущих плоскостей:
1. Проводится сфера, соосная обеим заданным поверхностям и пересекающая их.
2. Строятся окружности - линии пересечения секущей сферы с обеими заданными поверхностями.
3. Находятся точки пересечения построенных окружностей. Это и будут искомые точки ЛП поверхностей.
Выбор параметров секущих сфер:
1.Чтобы сфера была соосна обеим заданным поверхностям, ее центр должен располагаться в точке пересечения осей вращения поверхности.
2. Радиус сферы должен удовлетворять условию Rmаx ³ R ³ Rmin.
Минимальный радиус Rmin секущей сферы определяется из условия, что сфера должна пересекать обе заданные поверхности. Сфера Rmin касается одной из поверхностей и пересекает другую, поэтому Rmin равен большей из нормалей, проведенных из центра сфер к очерковым образующим заданных поверхностей.
Максимальный радиус секущей сферы Rmax определяется из условия, что линии пересечения сферы с заданными поверхностями должны пересекаться между собой, поэтому Rmax равен расстоянию между центром сфер и наиболее удаленной от него точкой пересечения очерковых образующих заданных поверхностей.
Задача: Построить ЛП поверхностей методом концентрических секущих сфер(рис.86).
Алгоритм решения
1. Находим на П2 точки пересечения очерковых образующих конуса SA и SB и цилиндра e и g. Судя по их горизонтальным проекциям (лежат на одной прямой, параллельной оси проекций x12), эти образующие располагаются в одной фронтальной плоскости и пересекаются: 12 = S2A2 e2, 22 = S2A2 g2, 32 = S2B2 e2, 42 = S2B2 g2. Горизонтальные проекции этих точек находим по принадлежности соответствующим образующим.
2. Выбираем на фронтальной проекции параметры секущих сфер. Проекцию центра O2 берем на пересечении осей вращения конуса i2 и цилиндра j2 и проводим из O2 нормали m и n к фронтальным очерковым конуса S2A2 и цилиндра е2.Rmin равен большей из этих
нормалей: Rmin = m. Из этого, кстати, можно сделать вывод, что в месте пересечения поверхностей диаметр цилиндра меньше диаметра конуса и цилиндр полностью пересекается конусом. Значит, мы имеем дело со случаем проницания и ЛП, состоящей из двух замкнутых контуров, располагающихся на поверхности цилиндра. Rmаx принимаем равным расстоянию между центром О2 и наиболее удаленной от него точкой 22 пересечения очерковых образующих поверхностей.
3. Находим на П2 точки ЛП методом секущих сфер.
3.1. Проводим на П2 сферу R = Rmin.
3.2. Находим точки пересечения её проекции с проекциями очерковых e2 и g2 цилиндра. Соединив полученные точки попарно отрезками, перпендикулярными оси j2 цилиндра, получим проекции а2 и а2* окружностей, по которым сфера пересекает цилиндр. Находим точки касания проекции сферы Rmin очерковых A2S2 и B2S2 конуса и, соединив их отрезком, перпендикулярным оси конуса, получим проекцию окружности касания сферы и конуса b2. Окружности а2, а2* и b2 лежат на поверхности сферы Rmin и, следовательно, пересекаются (или параллельны как а2 и а2* ).
3.3. Находим проекции точек принадлежащих искомой ЛП - точек пересечения построенных окружностей,: 52 = 52* = b2 а2*, 62 = 62*= b2 а2. (Для упрощения чертежа точки 52* и 62* условно не показаны). Горизонтальные проекции найденных на П2 точек 5 и 6 находим по принадлежности параллели b конуса. Для этого строим на П1 её проекцию b1 – окружность с центром О1 и диаметром, равным длине отрезка b2. Проведя сферу радиусом Rmаx ³ R ³ Rmin, по аналогичному алгоритму находим точки 7, 8, 9 ЛП.
4. Одноименные проекции построенных точек соединяем плавными кривыми с учетом видимости. На П2 видимые и невидимые участки ЛП совпадают из-за наличия общей для обеих поверхностей фронтальной плоскости симметрии. Последовательность соединения точек: 1-5-7-2 для левого контура и 3-6-8-4 - для правого.
Чтобы построить горизонтальную проекцию ЛП с учетом видимости необходимо дополнительно найти граничные точки видимости на П1. Это точки пересечения очерковых k и l цилиндра с поверхностью конуса. Сначала находим эти точки (102 = 102* и 112 = 112*) на П2 как результат пересечения k2 и l2 с уже построенными фронтальными проекциями ЛП, а затем – 101, 101*, 111, 111* по принадлежности k1 и l1. Видимыми на П1 будут участки ЛП, лежащие на верхней части цилиндра (1-5-7-11 и 3-9-6-10), невидимыми – лежащие на нижней его части.
5. Определяем видимость очерков поверхностей. На П2 видимыми будут те части очерка конуса, которые лежат вне очерка цилиндра, и те части очерка цилиндра, которые лежат вне очерка конуса. На П1 видимыми будут те части очерковых k и l, которые расположены правее точек 10 и левее точек 11.
11.3.Особые случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка
В общем случае поверхности вращения 2-го порядка пересекаются по пространственным кривым 4-го порядка. Существуют частные случаи, когда такие поверхности пересекаются по плоским кривым второго порядка.
С одним таким случаем - соосными поверхностями - мы познакомились выше. Другие признаки распадения кривой 4-го порядка на плоские кривые 2-го порядка сформулированы в следующих теоремах.
Теорема о двойном прикосновении: если две пересекающиеся поверхности вращения 2-го порядка имеют две точки касания, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.
Под точкой касания поверхностей понимается такая их общая точка, через которую можно провести плоскость, касательную к обеим поверхностям.
Теорема Монжа: если две пересекающиеся поверхности 2-го порядка описаны около третьей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания поверхностей.
На рис.87 показаны два цилиндра вра-щения, описанные вокруг сферы радиуса r. По теореме Монжа они имеют две точки касания А = e l и В = f k, через которые можно провести фронтальные плоскости S (S1) и S* (S1*), касающиеся обеих цилиндров по образующим e, f и k, l. На П2 проекции точек А и В, найденные по принадлежности образующим e и f, совпадают (A2 = B2), то есть отрезок (АВ) – фронтально проецирующий, и плоскости кривых, по которым пересекаются цилиндры, также фронтально проецирующие и проецируются на П2 в виде отрезков, проходящих через A2 = B2. Для построения этих отрезков достаточно построить еще две пары точек, принадлежащих обоим цилиндрам. Это точки пересечения фронтальных очерковых, лежащих в одной фронтальной плоскости Ф (Ф1): 12 = m2 c2, 22 = m2 d2, 32 = n2 c2, 42 = n2 d2 .
Cоединив попарно точки 12 и 42, 22 и 32 отрезками, получим проекции ЛП цилиндров - двух плоских кривых второго порядка. Т.к. плоскости их наклонены к осям цилиндров, то это эллипсы. На П1 эллипсы проецируются на окружность – вырожденную проекцию горизонтально проецирующего цилиндра.