Задачи для самостоятельного решения

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Цель преподавания курса – дать студентам научное представление о случайных событиях и величинах, а также о методах их исследования. В соответствии с целью студенты должны усвоить методы количественной оценки случайных событий и величин. Кроме того, они должны научиться содержательно интерпретировать формальные результаты.

Курс базируется на математических дисциплинах, изученных ранее (в школе и в вузе). В свою очередь, является основой для ряда дисциплин, как развивающих методы теории вероятностей и математической статистики, так и использующих эти методы для решения реальных профессиональных задач.

Правила выполнения и оформления контрольной работы

1. Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который совпадает с порядковым номером студента в журнале академической группы.

2. Титульный лист контрольной работы студента заполняется по следующей форме:

3. Приступать к выполнению контрольной работы следует после подробного изучения соответствующего теоретического материала и приобретения навыка решения аналогичных задач. Студент должен уметь объяснить решение любой задачи контрольной работы.

4. Контрольная работа выполняется в тетради в клетку с полями и сдается для проверки в установленное деканатом время.

5. Условия задач приводятся полностью. Решения сопровождаются подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила.

Контрольная работа №1. КОМБИНАТОРИКА

Задание 1.1. Число элементов в объединении множеств.

Задачи для самостоятельного решения

1. В классе 30 человек. Из них 26 человек занимается баскетболом, 25 – плаванием, 27 – лыжами, 15 занимаются баскетболом и плаванием, 18 – плаванием и лыжами, 16 посещают секции по баскетболу и лыжам. Один ученик освобожден от физкультурных занятий. Сколько человек занимается всеми указанными видами спорта? Сколько человек занима­ется только одним видом спорта?

2. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колба­сой взяли 47 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой – 28 человек, и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пи­рожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

3. Сколько дней в году мы работаем, а сколько отдыхаем? Займемся подсчетом. В невисокосном году 365 дней. Восемь часов в день уходит у каж­дого на сон – это 122 дня ежегодно. Вычитаем, остается 243 дня. Во­семь часов в день – свободное от работы время – 122 дня в год. Вычи­таем, оста­ется 121 день. Выходные дни, а их в году 52, также нерабочее время. Вычи­таем, остается 69 дней. В предвыходные дни рабочий день, как правило, укорочен – это 26 дней в году. Вычитаем, остается 43 дня. Далее, трехне­дельный отпуск – это 21 день. Вычитаем, остается 22 дня. Полчаса каждый день, затраченные на обед, составляют в год 8 дней. Вычитаем, остается 14 дней. Праздников, объявленных нерабочими днями, набирается в год 13. Вычитаем, остается всего... один день. Этот день – 1 января, когда все празднуют приход Нового года. Но мы же ра­ботаем! Когда?

4. В научно-исследовательском институте работает 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 – немецкий, 23 – английский и немец­кий языки. Французский язык знают 20 человек, английский и француз­ский – 12 человек, немецкий и французский – 11 человек, а все три языка – 5 че­ловек. Сколько человек в институте не знают иностранных языков?

5. Руководителю группы социологических исследований был пред­ставлен следующий отчет. Число опрошенных – 100 человек. Из них: занимаются спортом по месту жительства – 78 человек; занимаются спортом в производственном коллективе – 71 человек; занимаются спортом по месту жительства и в производственном кол­лективе – 48 человек; не занимаются спортом — 8 человек. Отчет был забракован. Почему?

6. В одной известной спортивной семье семеро детей увлекались лег­кой атлетикой, шестеро – лыжными гонками, пятеро – велоспортом. Чет­веро занимались легкой атлетикой и лыжами, трое – легкой атлетикой и велоспортом, двое – лыжными гонками и велоспортом, а один увлекал­ся легкой атлетикой, лыжами и велоспортом. Сколько детей было в семье? Сколько из них увлекалось только одним видом спорта?

7. Среди 150 школьников марки собирают только мальчики. Марки России собирают 67 человек, марки Африки – 48, марки Америки – 34, только марки России – 11, только Африки – 7, только Америки – 2. Лишь один школьник собирает марки России, Америки и Африки. Сколько девочек среди 150 школьников?

8. В олимпиаде участвовало 50 человек. Арифметическую задачу ре­шили 30 человек, геометрическую – 10, логическую — 9. Все три задачи решили 2 человека, арифметическую и логическую – 7, арифметическую и геометрическую – 3, логическую и геометрическую — 4. Сколько человек: 1) решили арифметическую или геометрическую задачи; 2) решили только арифметическую задачу, 3) решили арифметическую и логическую задачи, но не решили геоме­трическую задачу; 4) решили только логическую задачу; 5) решили логическую задачу тогда и только тогда, когда решили геоме­трическую задачу;

6) не решили ни одной задачи.

9. Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о коли­честве изучающих различные иностранные языки: английский – 28 че­ловек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все три языка – 3. Сколько студентов не изучает ни одного языка? Сколько студентов изучает только английский язык? Только не­мецкий? Только французский?

10. Староста одного класса дал следующие сведения об учениках: «В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков; 30 школьников учатся на " хорошо" и " отлично", в том числе 16 мальчиков. Спортом зани­маются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 школьников, учащихся на " хорошо" и " отлично". 15 мальчиков учатся на " хорошо" и " отлично" и в то же время занимаются спортом». Через несколько дней его вызвал к себе классный руководитель и ска­зал, что в сведениях есть ошибка. Выясните, как он это узнал?

11. В отделе научно-исследовательского института работают несколь­ко человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Шестеро знают английский, немецкий – тоже шестеро, французским вла­деют семеро. Четверо знают английский и немецкий, английский и фран­цузский – двое, немецкий и французский – трое. Один человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают толь­ко английский язык? Только немецкий? Только французский?

12. При обследовании сотрудников некоторого научного учреждения выяснилось, что 60% из них могут читать английскую специальную литера­туру, 30% — французскую, 20% — немецкую, 15% — и английскую, и фран­цузскую, 5% – английскую и немецкую, 2% – французскую и немецкую и 1% может читать на всех трех языках. Спрашивается, каков процент со­трудников, не способных читать ни на одном из трех языков?

13. В классе 35 учеников. Из них 16 увлекаются лыжами, 15 – плава­нием и 17 – велоспортом. Известно, что среди учеников-спортсменов нет занимающихся этими тремя видами спорта одновременно, зато каждый из спортсменов увлечен двумя видами. Сколько учащихся в классе не занима­ется спортом?

14. В классе 12 учащихся – лыжники, 12 – пловцы, 12 – велосипеди­сты. Трое увлекаются лыжами и плаванием, двое – велосипедом и лыжа­ми, один – плаванием и велосипедом. Есть ли учащиеся, занимающиеся тремя видами спорта одновременно, если известно, что в классе 45 учени­ков и 15 учащихся спортом не увлекаются вообще?

15. В классе 45 учащихся. Среди них 17 увлекаются лыжами, 18 – ве­лоспортом, 19 – плаванием. 10 учащихся занимаются этими тремя вида-

ми спорта одновременно. Занимающихся только двумя видами нет. Есть ли в классе учащиеся, не занимающиеся спортом вообще?