Случай ТМ -волны (p - волны)

рис.2

Из рисунка видео, что , запишем условия равенства на границе раздела:

(учитывая, что волна в среде 1 есть сумма падающей и отраженной волн)

подставляем значения :

подставляем из (2):

Аналогично, поскольку получаем для вектора на границе раздела:

(c учетом (2))

для выполнения равенств для и потребуем равенства аргументов косинусов:

потребуем также равенства начальных фаз:

из рисунка видно, что: , (4)

(, и - соответственно: угол падения, угол отражения и угол преломления), тогда имеем:

из равенства аргументов получаем:

(т.к. , )

т.е. получены, как и следовало ожидать, законы отражения и преломления света

разделим теперь выражения для и на , получим (c учетом (4)) следующую систему:

(5)

здесь неизвестными являются и , а - заданно.

Умножим первое уравнение на а второе на и вычтем из первого второе, тогда члены с сократятся и получим:

поскольку для неферромагнетиков магнитная проницаемость незначительно отличается от единицы, то для сравнительно широкого класса сред можно считать , тогда:

.

(разделим числитель и знаменатель на , и учтя, что )

применив закон преломления, получим (6):

из второго уравнения системы (5) получаем для :

(поскольку полагаем ,), тогда:

(7)

проверим теперь выполнение еще двух условий на границе раздела, которые мы не учли - и . Второе равенство выполняется заведомо, поскольку , проверим первое равенство :

из рисунка видно, что , а подставим значения , и (из 2), сократив сразу на , и учитывая (4):

(выражая через второе уравнение системы (5))

Таким образом действительно получено точное решение уравнений (2), удовлетворяющее всем начальным условия. Итак, имеем следующие формулы Френеля для случая s-волны для отражения и преломления (из (6) и (7)):

и