Оценка точностных характеристик комплексных систем измерения высоты.

Одним из обязательных этапов проектирования КСН является моделирование процессов функционирования с целью анализа его потенциальных и реальных характеристик. Подобный анализ предполагает решение следующих основных задач:

1. Анализ точностных характеристик синтезированной структуры КСН.

2. Анализ параметрической устойчивости алгоритмов комплексной обработки информации

3. Анализ структурной устойчивости алгоритмов комплексной обработки информации.

Рассмотрим последовательность решения перечисленных решения задач применительно к комплексным системам измерения высоты.

Анализ точностных характеристик КСИВ. Рассмотренные нами варианты реализации ФК в структуре КСИВ опирались на предположение о непрерывности процессов измерения и обработки информации сигналов ИИВ, РВ, и БВ. Однако, учитывая дискретный характер работы РВ, а также дискретный характер обработки информации в БЦВМ, для анализа потенциальных точностных характеристик КСИВ необходим переход от непрерывного ФК к его дискретному аналогу. Рассмотрим схему такого перехода на примере РИВ.

Напомним, что модель вектора состояния в этом случае имела вид:

DX(t)/dt = F(t)X(t) + V(t)w(t)

где X(t) - вектор состояния размерности (5х1) с компонентами:

X(t) = (DHин, DWz, DAz, Dg, DHp)^Т

V(t) -матрица, коэффициентов шумов размерности (5х3) с элементами:

w(t) - вектор возмущений, представляющих собой центрированный белый шум размерности (3х1):

w(t) = (Na, Ng, Np)^Т]

c известной диагональной матрицей интенсивностей N_w:

Уравнение измерений ФК:

r(t) = H(t)X(t) + x(t)

Для перехода от непрерывного алгоритма ФК к его дискретному аналогу необходимо обеспечить их временную и статистическую эквивалентность.

Обеспечение временной эквивалентности опирается на предположение о том, что значения переменных в приведенных уравнениях неизменны на интервале дискретизации DТ= t _k - t _k-1, то есть: X_k=X(t_k); w_k = w(t_k); x _k = x(t _k); r _k = r (t _k) для kDТ £ t £ (k+1)DТ и матрицы F(t), V(t), H(t) постоянны на этом интервале. Показано, что при сделанных предположениях уравнения вектора состояния и измерений, обеспечивающие временную эквивалентность дискретного и непрерывного сигналов могут быть записаны в следующем виде:

X(k) = Ф(k, k-1)X(k-1) + G(k)w(k)

где:

X(k) = (DHин(k), DWz(k), DAz(k), Dg(k), DHp(k))^Т - дискретный вектор состояния

w(k) = (Na(k), Ng(k), Np(k))^Т - дискретный вектор формирующих белых шумов

Ф(k, k-1)=Е+ F(t _k) DТ - переходная матрица

G(k)= Ф(k, k-1) V(t _k) DТ - матрица коэффициентов

r(k) = H(k)X(k) + x(k) – дискретный входной сигнал фильтра

r(k)= DHин(k)- DHp(k)

H(k)=(1, 0, 0, 0, -1)

Статистическая эквивалентность дискретного и непрерывного ФК достигается соответствующим заданием матриц интенсивностей возмущений и измерений:

N_w(k)= N_w/ DТ

N_x(k)= N_x/ DТ

Сигнал на выходе ФК представляет собой разность:

Hрив(k)= H(k)+DHин(k)- DH*ин(k)

Используя дискретную модель ФК оценивается рассчитываются оптимальные оценки вектора состояния X*(k) и оптимальная оценка апостериорной ковариационной матрицы К*(k/k), характеризующая точность процесса фильтрации. Диагональные элементы ковариационной матрицы представляют собой дисперсии ошибок оценки элементов вектора состояния, а внедиагональные характеризуют статистическую взаимосвязь между этими элементами.

Анализ точностных характеристик РИВ. В соответствии со структурой вектора состояния алгоритма ФК для РИВ ошибка определения высоты будет характеризоваться элементом k₁₁ апостериорной ковариационной матрицы К*(k/k). То есть:

s²_РИВ = k₁₁

Анализ потенциальных точностных характеристик РБВ. В соответствии со структурой вектора состояния алгоритма ФК для РБВ ошибка определения высоты будет характеризоваться элементами k₁₁, k₃₃, k₅₅, k₇₇, k₈₈ апостериорной ковариационной матрицы К*(k/k). То есть:

s²_РБВ = k₁₁ +k₃₃ +k₅₅ +k₇₇+k₈₈

Влияние неопределенности априорной информации на точность КСИВ. Практическая реализация ФК в рассмотренных нами вариантах КСИВ предполагала, что известны статистические характеристики ошибок измерителей, входящих в состав комплексной системы. В реальных условиях априорная информация известна приближенно. Кроме того, в некоторых случаях для того, чтобы снизить требования по потребному объему памяти и времени вычислений сознательно идут на упрощение моделей вектора состояний и измерений фильтра. В результате оценки, формируемые ФК становятся не оптимальными. Поэтому пи разработке ФК в КСИВ необходимо оценить то снижение потери точности, которое может иметь место при работе его в реальных, отличающихся от расчетных, условиях.

Недостоверность исходных данных проявляется неточностью задания матричных коэффициентов Ф(k, k-1), G(k), H(k) моделей вектора состояния и процесса измерений, статистических характеристик возмущений и ошибок измерений, то есть матриц N_w(k), N_x(k), а также заданием начальных значений ковариационной матрицы К(0/0).

Анализ ошибок, условленных недостаточной достоверностью исходных данных проводится в предположении, что модель реального сигнала на входе фильтра описывается теми же уравнениями, которые использованы для разработки фильтра:

Xр(k) = Фр(k, k-1)Xр(k-1) + Gр(k)wр(k)

rр(k) = Hр(k)X(k) + xр(k)

где w(k) дискретный вектор действительных формирующих белых шумов с матрицей интенсивностей Nр_w(k), x (k) - действительный шум измерений с интенсивностью Nр_x (k),

Все погрешности, обусловленные неопределенностью исходных данных можно разделить на параметрические и структурные. В первом случае структура уравнений и размеры матриц модельного и реального ФК: Ф(k, k-1) и Фр(k, k-1), G(k) и Gр(k), H(k) и Hр(k), N_w(k) и Nр_w(k), N_x(k) и Nр_x(k) совпадают, а отличаются только значениями элементов перечисленных матриц. Во втором случае структуры уравнений, а значит и размерности матричных коэффициентов модельного и реального ФК не совпадают. Это не совпадение может быть вызвано различными упрощениями, которые введены в модель ФК. Заметим, что подобная ситуация не является специфической только для КСИВ, она возникает в процессе проектирования любой КСН.

В связи с классификацией погрешностей как параметрических и структурных возникают две задачи, которые требуют своего решения на этапе проектировния:

1. Анализ параметрической устойчивости ФК:

2. Анализ структурной устойчивости ФК.

Анализ параметрической устойчивости ФК в комплексных системах измерения высоты. Решение этой задачи позволяет заранее на этапе проектирования не только оценить реальное изменение точностных характеристик ФК, но и оценить максимально допустимые отличия параметров реальных сигналов от их моделируемых значений, в пределах которых обеспечивается сходимость ФК.

Основу решения задачи анализа параметрической устойчивости составляют рекуррентные уравнения, описывающие изменение ковариационной матрицы Кр(к/к-1). действительных ошибок оценивания ФК. В качестве основы этих уравнений используются матричные коэффициенты моделей, включенных в уравнения ФК и матричные коэффициенты действительной модели. Подробное описание структуры этих уравнений можно найти в:

1. Сэйдж Э., Мэлз Дж. Теория оценивсания и её применение в связи и управлении. – М.: Связь, 1976.

2. Репин В.Г., Тартаковский Г.П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптации информационных систем. М.: Сов. Радио, 1973

Структурная устойчивость ФК в комплексных системах измерения высоты. Основой анализа структурной устойчивости ФК является проверка выполнения условий управляемости и наблюдаемости модели входного сигнала фильтра.

Напомню условия наблюдаемости применительно к модели фильтра следующего вида:

DX(t)/dt = F(t)X(t) + С(t)U(t) + V(t)w(t)

r(t) =H(t)X(t) + x(t)

Выполнение условия наблюдаемости означает, что входной сигнал полностью наблюдаем, то есть все его элементы в процессе фильтрации будут уточняться. Напротив, если система ненаблюдаема, то какой-то элемент или элементы вектора состояния являются ненаблюдаемыми элементами и следовательно в процессе фильтрации не будет происходить их уточнение. Для проверки условия наблюдаемости используются матрица следующего вида:

/ H, HF, HF², …., HF^n-1/