Собственные числа и собственные векторы матриц

Второй наиболее часто встречающейся задачей линейной алгебры является задача поиска собственных чисел и собственных векторов заданной квадратной матрицы. Нахождение собственных чисел эквивалентно задаче решения СЛАУ вида:

Эта однородная система линейных уравнений имеет решения для конкретных значений - λ ₁, λ ₂, …., которые называются собственными числами матрицы системы А. Каждому собственному числу соответствует собственный вектор – х₁, х₂, ….., который является решением системы для данного собственного числа. Таким образом, для того, чтобы знать полный набор решений, необходимо определить собственные числа матрицы системы и найти для них соответствующие собственные векторы.

Для решения таких задач на собственные числа и собственные векторы существует несколько встроенных функций, реализующих достаточно сложные вычислительные алгоритмы:

- eiganvals(A) – вычисляет вектор собственных чисел;

- eigenvecs(A) – вычисляет матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, каждый столбец включает в себя координаты одного собственного вектора, количество столбцов равно количеству собственных чисел;

- eigenvec(A, λ) – вычисляет один собственный вектор для заданного собственного числа.

Доступ к этим функциям осуществляется через панель инструментов и диалоговое окно (рис.16):

Проиллюстрируем применение этих функций на примерах.

Примеры.