Интегралы от дифференциальных биномов

Дифференциальным биномом называется выражение вида

(19.32)

где m, n, p – рациональные числа; a, b – действительные числа, отличные от нуля.

Если то можно использовать формулу бинома Ньютона, и этим сводим интеграл к интегралу от степенной функции. В общем случае интегралы от дифференциальных биномов, т. е. можно привести к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях:

1) если p – целое число, то применяется подстановка где

2) если – целое число, то применяется подстановка

3) если – целое число, то применяется подстановка

Пример 1. Найти неопределенный интеграл:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциального бинома (19.32)

Тогда т. е. p – целое число. Следовательно, имеем первый случай интегрируемости дифференциального бинома. Так как то применим подстановку Тогда

Вычисляем:

2) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциального бинома (19.32)

Тогда – целое число.

Следовательно, здесь мы имеем второй случай интегрируемости дифференциального бинома. Используем подстановку

Тогда

где

Получаем ответ:

3) Запишем подынтегральную функцию в виде (19.32)

Тогда

– целое число. Следовательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Используем подстановку

Тогда

Переходя в подынтегральном выражении к переменной t, получаем:

Заменяем t на и получаем ответ:

4) Запишем подынтегральную функцию в виде дифференциального бинома (19.32)

Тогда

– целое число. Следовательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Используем подстановку: Тогда

Интеграл преобразуется к виду

Последний интеграл можно вычислить двумя способами: либо разложить подынтегральную рациональную дробь на сумму простейших дробей либо применить формулу интегрирования по частям.

Вычислим 2-м способом.

Положим

Тогда

Получим:

Заменяем t на и окончательно получаем:

Пример 2. Найти интеграл разными способами.

Решение. 1-й способ. Для вычисления интеграла используем формулу интегрирования по частям. Положим Тогда

Имеем:

В правой части этого равенства получили исходный интеграл. Найдем его из уравнения

2-й способ. Для вычисления интеграла применим тригонометрическую подстановку

Тогда

Интеграл примет вид:

Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью. Разложим ее на сумму простейших дробей:

(19.33)

Полагая получаем

Полагая получаем

Находим производную от обеих частей равенства (19.33):

Полагая получим

Полагая получим

Тогда разложение данной дроби на простейшие имеет вид:

Приходим к интегралу

Возвращаемся к заданной переменной, заменяем y на sin t, где Тогда

Получаем:

Присоединяя к произвольной постоянной С, получаем:

3-й способ. Запишем подынтегральное выражение в виде дифференциального бинома (19.32)

Тогда – целое число. Следовательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Используем подстановку Тогда

Интеграл преобразуется к виду

Для вычисления последнего интеграла применим формулу (19.20) интегрирования по частям.

Положим Тогда Получаем:

Подставляем и после преобразований получаем ответ: