Якщоnнепарне, то функція f(x)в точці x0 екстремуму не має.

Дослідити на екстремум функцію

f (x) = х ³ – 3 х ² + 3 х +5. ·

· Знаходимо похідну f¢ (x) = 3 х ² – 6 х + 3. Рівняння f¢ (x) = 0 має одну стаціонарну точку х = 1, тому f¢ (1) = 0. Далі,

.

Отже, f ¢ (1) = f ² (1) = 0, але f ² ¢ (1) ¹ 0. За теоремою в стаціонарній точці х = 1 функція f (x) екстремуму не має.

.

45. Асимптоти кривої

Означення. Асимптотою кривої називають пряму (або криву) лінію, до якої необмежено наближається точка, рухаючись по кривій у нескінченність.

Рис. 5.45

1. Вертикальні асимптоти. Нехай функція визначена в одному з інтервалів (а; с) та (с; b), або на обох із них, причому
с — скінченне число.

Означення. Якщо функція має в точці с розрив другого роду і існує хоча б одна із нескінченних односторонніх границь функції в точці с (наприклад, або , рис. 5.45), то пряму х = с називають вертикальною асимптотою кривої .

Отже, усі вертикальні асимптоти виду х = с кривої можна знайти, знайшовши скінченне число точок с, в яких функція має розриви другого роду й існує хоча б одна із нескінченних односторонніх границь функції f (x) у точці с.

Функція має вертикальну асимптоту (рис. 5.46), оскільки точка — точка розриву другого роду:

; .

Рис. 5.46

Графік функції має вертикальні асимптоти (рис. 5.47).

Рис. 5.47