![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Расчет статически определимой многопролетной балки и трехшарнирной системы
Литература: [1] §§2.1-2.5, 2.7-2.9, 3.1, 3.2; [2] §§44, 45, 49, 50, 60, 67; [4] §§II.1, II.3, III.1, III.2, IV.1, IV.4; [5] §§2.1, 2.2, 3.1; [11] §§3.1-3.6, 4.1, [12] §4.1. Задача 2.1 Для балок, показанных на рис. 2.1, требуется: а) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М; вычислить значения Q и M в указанных сечениях (m, n, или k, s); б) построить линии влияния опорных реакций, а также линии влияния Q и M для тех же указанных сечений; в) вычислить от заданной неподвижной нагрузки значения двух опорных реакций (по выбору студента) и значения Q и M в указанных сечениях при помощи их линий влияния, сравнить полученные значения с результатами аналитического расчета. Исходные данные взять из таблицы 2.1.
Таблица 2.1
Пример выполнения задачи 2. 1. Для заданной на рис.2.3, а многопролетной балки выполнить расчеты согласно условию задачи 2.1.
![]()
![]() Решение. Кинематический анализ системы. Для определения неизменяемости и статической определимости многопролетной шарнирной балки число шарниров в пролетах должно удовлетворять условию Ш=С0–3, (2.1) где С0– число опорных стержней. В данном примере Ш=3, Со=6. Условие (2.1) выполняется. Это условие является необходимым, но недостаточным для заключения о том, что система является геометрически неизменяемой. Шарниры В, С, I делят балку на отдельные элементы-балки: АВ, BC, CI и IG, причем балки АВ и IG являются основными, т.к. они неподвижно связаны с землей. Балки ВС и CI – второстепенные, которые без связи с соседними балками дают геометрически неизменяемую (подвижную) систему. Балка BC называется подвесной, как вообще не связанная с землей. Для уяснения взаимодействия отдельных частей шарнирной балки строим " поэтажную схему" (рис. 2.2, б). Построение эпюр Q и M. Аналитический расчет удобнее вести отдельно для каждой балки, начиная с верхних балок в схеме взаимодействия. Расчет начинаем с определения опорных реакций (рис. 2.2, в). В первую очередь следует определить реакции подвесной балки ВС, затем можно рассмотреть балку АВ или CI, после балки CI нужно рассмотреть балку IG. Рассмотрим элемент BC. Ввиду симметрии нагрузки на балке ВС:
Перейдем к элементу АВ. На консоль АВ действует сила
следует МА=12 кНּ м, RA=6 кН. Рассмотрим элемент CI. Из уравнения равновесия:
получаем RI=3 кН, RD=9 кН. Для проверки запишем уравнение Элемент IG. Из уравнения равновесия:
следует RJ=11, 8 кН. Из уравнения:
![]()
![]()
![]()
![]()
получаем RH 11, 8 кН. Для проверки составим уравнение В заключение можно проверить для всей системы выполнение условия Σ Y=0
Переходим к построению эпюр Q и M. Расстояния до сечений x i для каждого грузового участка балок представлены на рис. 2.5–2.7. Правила построения эпюр Q и M см. контрольную работу №1. Согласно этому эпюры представлены: для элемента BC (рис.2.4), элемента АВ (рис. 2.5), элемента CI (рис. 2.6), элемента IG (рис. 2.7). Путем объединения соответствующих эпюр, построенных для отдельных элементов многопролетной шарнирной балки, получаем окончательные эпюры Q и M для всей балки, которые приведены на рис. 2.2, г, д. Построение линий влияния. Для построения линий влияния перемещаем силу Линии влияния RA и MA (рис. 2.3, б, в). Если сила
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]()
получаем
При x2=0, RA=1, MA=-2м ( Строим линии влияния Линия влияния RD (рис. 2.3, г). Располагаем груз Σ МI=0, имеем При x1=0, RD=1, при x1=4м, RD=0, при x1=-2м, RD=1, 5.
![]() Располагаем груз
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() Σ МI=0,
Тогда Линия влияния RH и RJ (рис. 2.3, д, е). Располагаем груз
имеем При x1=0 ( при x1=5м ( при x1=-3м ( Строим линии влияния RH и RJ на участке IG. Перемещаем груз
Сила
Тогда При x2=0 ( при x2=4м ( при x2=-2м (
Рис. 2.10
По этим значениям строим линии влияния RH и RJ на участке CI. Сила
затем, рассматривая равновесие балки IG, окончательно получим
При x3=0 ( при x3=3м ( Достраиваем линии влияния RH и RJ на участке ВС. Если сила Линия влияния QK и MK (рис. 2.3, ж, з). Пусть сила
![]()
![]() ![]() ![]() ![]()
При x2=0, QK=0, MK=0; при x2=3м, QK=1, MK=-1, 5м. Достраиваем линии влияния QК и MK на участке ВС. Если сила Линии влияния QS и MS (рис. 2.3, и, к). Пусть сила
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
![]()
Определение усилия по линиям влияния. При загружении n сосредоточенными силами величиной Рi и m, равномерно распределенными по нескольким участкам нагрузками интенсивностью qi значение усилия S по линии влияния этого усилия может быть определенно по формуле:
где yi- ордината линии влияния S под силой Pi; ω i- площадь фигуры, ограниченной линией влияния S, на участке действия нагрузки qi (площадь линии влияния). Используя формулу (2.2), вычислим, например, реакции RH и RJ, а также QК, MK, QS и MS от неподвижной нагрузки в заданной многопролетной балке (рис. 2.2, а) по линиям влияния соответствующих усилий (рис. 2.3, д – 2.3, к).
Приведенные результаты вычислений RH, RJ, QК, MK, QS, MS совпадают с выше приведенными аналитическими вычислениями. Задача 2.2. Для рам, схемы которых изображены на рис. 2.13: а) определить величины опорных реакций; б) построить эпюры внутренних силовых факторов. Исходные данные взять из табл. 2.2 Таблица 2.2
![]()
![]()
![]()
![]()
Пример выполнения задачи 2.2. Для трехшарнирной рамы с затяжкой (рис. 2.14) определить опорные реакции XA, RA, RB, H и построить эпюры М, Q и N. Решение. Определение опорных реакций. Реакции в опорах рассматриваемой рамы показаны на рис. 2.16, а. Составим уравнение суммы моментов относительно левой опоры
Решая это уравнение, находим реакцию RB = 8кН. Для вычисления реакции RA составляем уравнение суммы моментов относительно правой опоры
откуда RA=-0, 5 кН. Знак " минус" указывает на то, что реакция имеет противоположное направление, то есть направлена вниз. Для проверки правильности найденных вертикальных реакций составляем уравнение суммы проекций Σ y=-7, 5-0, 5+8=0. Таким образом, реакции RA и RВ найдены правильно. Величина реакций XA определяется из уравнения суммы проекций на горизонтальную ось: Σ X=qּ 9- XA=0, откуда XA=36кН. Приравняв нулю сумму моментов всех сил, действующих на левую часть рамы, относительно шарнира С, найдем усилие в затяжке: откуда Н=10, 67 кН. Для проверки найденной величины Н составим уравнение моментов относительно шарнира С всех сил, действующих на правую часть рамы:
Построение эпюр М, Q, N. Рассматриваемая рама имеет семь участков, для которых должны быть составлены аналитические выражения М, Q и N. Номера участков показаны на рис. 2.16, а арабскими цифрами. Первый участок (рис. 2.15, а,
при x1=0, М1=0; при x1=1м, М1=31, 5кНּ м; при x1=2м, М1=63 кНּ м; при x1=3м, М1=90 кНּ м.
при x1=0, Q1=36 кН; при x1=3м, Q1=24 кН.
Для второго участка (рис. 2.15, б,
при x2=0, М2=90 кНּ м, Q2=13, 33 кН; при x2=6м, М2=97, 98кНּ м, Q2=-10, 67 кН. Так как поперечная сила Q2 меняет знак, то момент на данном участке имеет экстремум. Приравняем выражение для Q2 нулю:
Третий участок (рис. 2.15, в,
при x3=0, М3=97, 98 кНּ м; при x3=5, М3=63, 97 кНּ м;
значение ординат Q3 не зависит от величины x3 и получим Q3= –6, 80 кН.
Величина N3 имеет постоянное значение по всему участку и равна N3= –8, 24 кН. Для четвертого и пятого участков проще рассматривать и записывать уравнения равновесия для правой части рамы. Рассмотрим равновесие части рамы, расположенной правее сечения 4-4 (рис. 2.15, г,
Составим уравнения для М5, Q5, N5 (рис. 2.15, д,
На шестом и седьмом участках возникают только продольные усилия
Эпюры М, Q, N для всей рамы показаны на рис. 2.16, б, в, г. Контрольная работа №3
|