Пример решения задачи 6

Для заданной на рис.6.2, а неразрезной балки выполнить расчеты согласно условию задачи 6.

Р ешение. Балка имеет пять опорных связей С₀=5. Степень статической неопределимости

Построение эпюры М и Q от действия постоянной нагрузки. Для этого выберем основную систему, введя шарниры над опорами и превратив тем самым неразрезную балку в совокупность однопролетных шарнирно опертых балок. Положительные направления М показаны на рис. 6.2, б. Отбросив консоль, на правой опоре прикладываем момент , а затем заделку слева заменяем дополнительным пролетом длиной l₀=0. Пронумеруем опоры слева направо, начиная с нуля. Всем параметрам, относящимся к данному пролету, присвоим индекс по номеру правой опоры.

Таблица 6.1

Загрузив основную систему заданной нагрузкой, определяем реакции опор соответствующих однопролетных балок и строки эпюры изгибающих моментов для каждой балки в отдельности (рис. 6.2, в).

Уравнение трех моментов для i-й опоры имеет вид (см.2.1[7])

. (6.1)

Здесь М_i-1, M_i, M_i+1 – моменты соответственно над i-1, i, i+1 опорами;

l_i, l_i+1 – длины i и i+1 пролетов;

ω _i, ω _i+1 - площади эпюр изгибающих моментов от заданной нагрузки в основной системе;

а_i, b_i+1 – расстояния от центров тяжести площадей ω _i и ω _i+1 соответственно до левой опоры i пролета и до правой опоры i+1 пролета.

Составим уравнения трех моментов для опор 1 и 2:

(6.2)

.

В рассматриваемой задаче М₀=0, l₁=0, М₃=-28кНּ м, ω ₂=1/2ּ 12ּ 8=48кНּ м², ^, , , .

Подставим найденные значения в уравнения (6.2)

;

.

Решая полученную систему уравнений, находим: М₁=5, 44 кНּ м, М₂=-25, 88 кНּ м. По этим значениям построим эпюру опорных моментов М₀, которая показана на рис. 6.2, г пунктирной линией.

Окончательную эпюру М построим, суммируя эпюры М ⁰p и М₀.

Для неразрезных балок эпюры М и Q могут быть построены также и по следующим формулам:

;

, (6.3)

где и – значения М и Q от заданной нагрузки для простых шарнирно опертых балок основной системы.

Используя первую формулу (6.3), определим ординаты эпюры М в характерных сечениях:

в середине второго пролета

;

в сечении где приложена сила Р₁

;

в середине третьего пролета

.

Эпюра М показана на рис.6.2, г.

Вычислим значения поперечной силы Q в характерных сечениях:

,

на втором участке второго пролета

.

На третьем участке поперечная сила изменяется согласно уравнению

(6.4)

в начале третьего участка ; в конце третьего участка .

Эпюра Q показана на рис.6.2, д. Абсцисса x₀ сечения, где Q=0, определяется из (6.4)

. Отсюда x₀ =4, 95 м.

Тогда .

Построение эпюры изгибающих моментов от временной нагрузки Интенсивность временной нагрузки равна

. .

 

Для построения эпюры изгибающих моментов применим метод моментных фокусных отношений. Предварительно определим левые и правые фокусные отношения (см. 2.2 [7)

левые: К₂=2; ;

правые: ; .

Зная моментные фокусные отношения и моменты над опорами загруженного i-го пролета, определяем моменты над остальными опорами справа и слева соответственно по формулам

, . (6.5)

При загружении только i -го пролета моменты над его опорами определяем по формулам (см. формулу 2.8 [7]): (6.6)

, , (6.6)

где , . (6.7)

От нагрузки, находящейся во втором пролете, определяем величины А₂ и В₂ по формулам (6.7):

,

.

По формулам (6.6) вычислим моменты для левой и правой опоры загруженного пролета:

,

.

Момент над третьей опорой найдем, используя формулу (6.5)

.

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 6.3, в.

Нагрузка находится в третьем пролете.

По формулам (6.7) находим

.

Вычислим моменты над левой и правой опорами загруженного пролета:

.

Момент над третьей опорой (в заделке) определяем по (6.5)

.

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 6.3, д.

Нагрузка приложена на консоли. При этом момент на третьей опоре будет равен

.

Моменты слева над второй и первой опорами найдем, используя (6.5):

Рис. 6.3

, .

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 6.3, ж.

 

Построение огибающей эпюры моментов. Для определения максимального момента M_max в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки в этом сечении. Аналогично для определения минимального момента M_min в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки прибавим все отрицательные моменты от временной нагрузки; т.е.

, .

Для построения огибающей эпюры моментов определим ординаты M_max и M_min в характерных сечениях балки, обозначенных на рис. 6.2, а цифрами и буквами 1, а, б, 2, в, 3.

Результаты вычислений сведены в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Огибающая эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 6.3, э

Контрольная работа №7