Рівняння та нерівності, що містять під знаком абсолютної величини

Нагадаємо означення модуля або абсолютної величини числа: модулем називається само число , якщо і , якщо :

Наприклад, якщо , то . А у випадку значення модуля таке: .

Геометричний зміст модуля: - це відстань від точки до точки 0 на числовій прямій. Отже, для маємо:

а) (рис. 5.5); б) (рис. 5.6);

в) .

Рис. 5. 5 Рис. 5. 6 Рис. 5. 7

Корисно запам’ятати також, що є відстанню на числовій прямій від точки до точки (рис. 5.7).

Наприклад, на числовій прямій множина точок, що задовольняє умову , є інтервал із центром у точці і радіусом , тобто інтервал від точки до точки .

Приклад 5.12. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Точка розбиває числову вісь на два проміжки, а саме, якщо , то вираз під знаком модуля додатний, тому модуль збігається із самим виразом, і маємо систему або та її розв’язок . У протилежному випадку після розкриття знака модуля отримаємо . Відповідь: .

Приклад 5.13. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Для розв’язання цього рівняння краще безпосередньо проаналізувати означення модуля. Модуль числа дорівнює якщо це число або . Наше рівняння можна замінити на два окремих рівняння, які часто записують у вигляді сукупності Кожне рівняння розглянемо окремо і отримаємо

Приклад 5.14. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Перший спосіб - використання заміни змінної, а саме: позначимо і підкреслимо, що . Розв’язками отриманого квадратного рівняння є числа і , друге із яких нас не влаштовує. Рівняння має два корені: .

Рівняння можна було розв’язати інакше, а саме розглянути окремо два випадки: і . Відповідно маємо і . Першу систему задовольняє число , а другу – .

Приклад 5.15. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Нерівність одразу замінимо на або . Відповідь: або .

Приклад 5. 16. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Щоб позбавитися знака модуля, розглянемо окремо два випадки: 1) , 2) , які приводять до двох окремих систем:

1) і 2) . Перша має розв’язок , а друга - розв’язок . Тому .

Зауваження. Розглянуті приклади здаються занадто простими, але у подальшому вони можуть змінювати своє “обличчя” та виникати у досить серйозному вигляді, а тоді має неабияке значення вміння розв’язувати їх швидко та правильно

(див. завдання 5.10)

Завдання для самостійної роботи

5.7. Розв’язати рівняння:

а) ; b) ; c) ; d) .

5.8. Розв’язати рівняння .

5.9. Зобразити на числовій осі точки, що задовольняють нерівності:

а) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ;

g) .

5.10. Визначити, для яких значень геометрична прогресія із знаменником буде нескінченно спадною, тобто

5.11. Розв’язати нерівності: а) ; b) .

5.12. Розв’язати рівняння:

а) ; b) ; c)

5.13. Розв’язати нерівності:

а) ; b) ; c)2 ; d) .

5.4. Показникові та логарифмічні рівняння

Рівняння, що містять невідому в показникові степеня, мають назву “показникові рівняння”.

Основні види показникових рівнянь такі:

1.

За визначенням нульового показника

2.

Якщо розділити обидві частини рівняння на то одержимо рівняння

3.

За означенням логарифма

4.

Винесемо за дужки де Маємо

або

Рівняння має розв`язок, якщо .

5.

Позначимо , тоді одержимо квадратне рівняння відносно , оскільки

6.

Поділивши обидві частини на , отримаємо рівняння, що має вигляд рівняння 5.

Приклад5.17. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Праву частину перетворимо в число з основою 3: . Тепер підставимо в рівняння. Маємо Þ .

Приклад5.18. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Оскільки , то рівняння матиме вигляд . Винесемо за дужки: Þ Þ Таким чином, але Þ Þ .

Приклад5.19. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Позначимо , тоді Підставимо і в задане рівняння. Отримаємо квадратне рівняння Розв’яжемо це рівняння. Маємо: Þ Звідси: , , , і , , ,

Приклад 5.20. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Приклад 5.21. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Приклад 5.22. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Винесемо за дужки Отримаємо:

Приклад 5.23. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Позначимо . Маємо . Корені квадратного

рівняння: і . Оскільки то нас влаштовує тільки корінь . Тоді

Якщо невідома змінна міститься під знаком логарифма або в його основі, то таке рівняння називається логарифмічним. При розв’язуванні логарифмічних рівнянь обов’язково потрібно враховувати властивості логарифмічної функції : , , .

Приклад 5.24. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Для цього рівняння ОДЗ таке:

Розв’яжемо нерівність : Парабола не має точок перетину з віссю . Отже, для будь-яких . Тоді Þ , . За означенням логарифма маємо

Þ Þ Þ , .

Приклад 5.25. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Визначимо ОДЗ цього рівняння: Þ .

До лівої частини рівняння застосуємо властивість , тобто ліва частина дорівнює логарифму дробу В правій частині рівняння . Тоді початкове рівняння набуде вигляду За означенням логарифма . Оскільки то .

Приклад 5.26. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Для цього рівняння ОДЗ таке: . До лівої частини рівняння застосуємо властивість . За означенням десяткового логарифма , , , . Врахуємо, що , тоді не є коренем цього рівняння.

Завдання для самостійної роботи

5.14. Розв’язати рівняння:

а) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j)

k) l)

m) n) o) p)

5.5. Показникові та логарифмічні нерівності

При розв’язуванні нерівностей, що містять показникову або логарифмічну функцію, треба пам’ятати властивості цих функцій, а саме те, що при є монотонно зростаючими, а при – монотонно спадними. Таким чином, маємо нерівності

; .

Аналогічно:

.

При розв’язуванні логарифмічних нерівностей також треба пам’ятати, що функція визначена тільки при .

Приклад 5.27. Розв язати нерівність

Розв’язання. Оскільки функція – монотонно зростаюча і , то нерівність, задана за умовою, еквівалентна таким нерівностям:

,

(застосовано метод інтервалів для розв’язування нерівностей).

Приклад 5.28. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Покладемо . Тоді . Враховуючи, що

, одержимо .

Приклад 5.29. Розв’язати нерівність

Розв’язання. ОДЗ цієї нерівності така:

Оскільки – монотонно спадна функція, то задана нерівність еквівалентна нерівності . Остання нерівність з урахуванням того, що – монотонно зростаюча функція, рівносильна нерівності З урахуванням ОДЗ одержимо відповідь: (рис. 5.8).

Рис. 5.8

Приклад 5.30. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Зведемо праву частину до основи : , одержимо . Функція - монотонно спадна. Тому, якщо , а і , то . Отже, з нерівності випливає , або . Розв’яжемо квадратну нерівність:

Таким чином, Þ (рис. 5.9).

Приклад 5.31. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Врахуємо, що Тоді а функція монотонно зростає. Це означає, що для будь-яких і (при ), що належать області допустимих значень функції, . Тоді, якщо то Розв’яжемо квадратну нерівність: Тоді

Þ (рис. 5.10).

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Завдання для самостійної роботи

5.16. Розв’язати нерівності:

а) b) c) d) e)

f) g) h)

i) j) k) l) m) n)

o) p) q)