Потенциал, градиент потенциала.

Если в системе нет намагниченных тел, то магнитное поле отсутствует. Следовательно, всюду

Наличие в ЭП свободных распределенных в объеме зарядов привело бы к возникновению электрического тока. Поэтому предположение, что J=0, ведет к заключению, что всюду ρ =0. Могут быть только заряды, распределенные по поверхностям заряженных тел. Из системы уравнений ЭМП остается следующая совокупность:

Условие rot Е = О свидетельствует, что ЭСП имеет безвихревой характер. Согласно теореме Стокса, для любого замкнутого контура имеем:

Таким образом, условие rotЕ=0 выражает в дифференциальной форме важное положение: в ЭСП линейный интеграл вектора Е вдоль любого замкнутого контура =0. Соответственно в ЭСП линейный интеграл вектора Е, взятый от точки А до точки
В, не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется в заданном ноле положением точек А и В. Это обстоятельство дало нам возможность ввести понятие о потенциале ЭСП. Потенциал ЭСП в точке А мы определили, как линейный интеграл вектора Е, взятый от точки А до некоторой заданной точки Р, т. е.

Потенциал в точке Р =0. Линейный интеграл вектора Е вдоль некоторого пути от точки
А до точки В есть разность электрических потенциалов в точках А и В:

Установим связь между Н и изменением
потенциала в пространстве. Допустим, что положение точки А, в которой рассматриваем потенциал U, определяется ее расстоянием l от начальной точки 0 вдоль некоторого пути (рис. 24.1), идущего в точку Р, где потенциал принят =0. Выражение для потенциала при этом можно написать в виде

причем l p — длина всего пути от точки 0 до точки Р;  - угол между направлением вектора Е и касательной к пути.

Взяв частную производную от обеих частей равенства по нижнему пределу, найдем

откуда следует, что приращение потенциала, рассчитанное на 1 перемещ-я в каком-либо направ-и, численно = взятой с обр-м знаком состав-й напряж-ти поля в этом направлении. В частности, в декартовых координатах имеем

Если направление перемещения dl составляет прямой угол (а=п/2) с вектором Е, то cos а=0 и dU/dl = 0. Следовательно, мысленно перемещаясь в направлении, нормальном к направлению линий напряженности поля, будем иметь U = const, т. е. будем оставаться на поверх-и равного потенциала. Линии напряженности поля нормальны к поверх-ям равного потенциала. УравнениеU(x, у, z) = const определяет совокупность точек, лежащих на поверхности равного потенциала, т. е. является уравнением этой поверхности. Следы поверхностей равного потенциала в плоскости чертежа называют линиями равного потенциала ЛРП. ЛРП пересекаются с линиями напр-и поля всюду под прямым углом. Совмещая направление перемещения dl с направлением вектора Е будем иметь

Это характерное направление совпадает с норм-ю к поверхности РП. Поэтому условимся обозначать перемещение dl в этом направлении через dn, в соответствии с чем запишем:

Очевидно, dn есть элемент длины линии напряженности поля, причем координату n считаем растущей в направлении вектора Е. Производная от потенциала по координате имеет наибольшее значение в направлении, нормальном к поверхности РП и противоположном направлению вектора Е. Это наибольшее значение производной может быть изображено вектором, направленным против в. Е и носящим назв-е градиента эл-го потенциала grad U.

grad U равен приращению потенциала, отнесенному к единице
длины и взятому в направлении, в котором это приращение имеет наибольшее
значение

Векторы Е и grad U = между собой по вел-не и напр-ны в противоположные стороны:

Составляющие градиента ЭП по осям в декарт.сист суть Следовательно,

Градиент потенциала может быть обозначен (знак «набла») в виде . В декрт-х координатах:

Следовательно, равенство Е = - grad U может быть написано Знак - в этом равенстве указывает, что потенциал убывает в направлении линий напряж-ти поля. Это является следствием определения потенциала как линейного интеграла напряженности электрического поля, взятого от
рассматриваемой точки А до заданной точки Р, в которой U=0. Все сказанное свидетельствует о том, что всякое безвихревое поле есть поле
потенциальное т. е. такое, которое может быть охарактеризовано потенц-ой функцией U(x, y, z).Обратно, всякое потенциальное поле является безвихревым, что вытекает из
тождества rot grad U = 0.