Уравнения Пуассона и Лапласа.

Подставляя в уравнение

выражающее теорему Гаусса в дифференциальной форме, вместо величин Ex, Ey и Еz их выражения через потенциал:

Получаем уравнение:

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона. Интеграл

является решением уравнения Пуассона
в случае, когда заряды распределены в конечной области пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид:

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа. Электростатическое поле удовлетворяет уравнению Лапласа. Левые части уравнений Пуассона и Лапласа представляют собой расхождение градиента потенциала п могут быть записаны в форме, не зависящей от выбора системы координат:

Нередко можно встретить запись левой части этих уравнений с помощью
символического оператора в виде . Действительно,

И, следовательно,

Оператор часто обозначают и называют оператором Лапласа или лапласианом. Следовательно, уравнения Пуассона и Лапласа могут быть написаны также в виде