Понятие матрицы

Лекция 1. ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Матрицы. Основные операции над матрицами

Понятие матрицы

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел а_mn, содержащая m строк и n столбцов.

Матрица обозначается приписными буквами латинского алфавита: A, B, C, …. Для обозначения элемента в матрице используют строчные буквы с двойной индексацией a_mn, где m – номер строки, n – номер столбца.

или – A[m ´ n] (матрица A, размером m ´ n).

Пример: матрица имеет размер A[3 ´ 3].

Элементами матрицы являются: а₁₁ = 1 а₁₃ = 0

а₁₂ = 2 а₂₁ = 3

а₂₂ = 1 а₃₁ = 3

а₂₃ = -4 а₃₂ = -2

а₃₃ = 5

1.2. Виды матриц

Определение 2. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.

A = [a₁₁ a₁₂ … a_1n].

Определение 3. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

.

Определение 4. Матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов (m = n).

.

Элементы матрицы a_mn, у которых номер столбца равен номеру строки
(m = n), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главной диагональю являются элементы а₁₁, а₂₂, …, a_nn.

.

Определение 5. Матрица называется единичной, если все диагональные элементы равны 1.

.

Для единичной матрицы: Е × А = А × Е = А.

Определение 6. Матрица любого размера называется нулевой или нуль-матрицей если все её элементы равны 0.

.

Определение 7. Матрица называется симметричной, если для всех i и j квадратной матрицы a_ij = a_ji.

; а₁₂ = а₂₁; а₁₃ = а₃₁; а₂₃ = а₃₂.

Квадратная матрица называется треугольной, если выше или ниже главной диагонали стоит треугольник из нулей.

Определение 8. Транспонированной матрицей (A^T) называется матрица, каждая строка которой состоит из тех же элементов, что и столбец исходной матрицы.

.

Для симметричной матрицы А = А^Т.