Обратная матрица

Определение 2. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица (А^-1 × А = А × А^-1 = Е).

Из этого определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную, однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную.

Определение 3. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая квадратная матрица называется невырожденной, в противном случае – вырожденной.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы): Для того, чтобы у квадратной матрицы А существовала обратная матрица и, причём, единственная, необходимо и достаточно чтобы она была невырожденной.

Доказательство: Пусть матрица В обратная к матрице А, то А × В = Е. Т.к. матрицы А и В квадратные и имеют одинаковый порядок, то определитель произведения матрицы равен произведению их определителей. .

Обратную матрицу можно находить:

1. Методом присоединённой матрицы.

,

где (А^v)^T – это транспонированная, присоединённая матрица, полученная из основной, путём замены её элементов на алгебраические дополнения.

2. Методом элементарных преобразований.

Пример 1: Дана матрица А, найти обратную матрицу методом присоединённой матрицы.

Пример 2: Дана матрица А, найти обратную матрицу методом элементарных преобразований.

Суть этого метода состоит в том, что к квадратной матрице через вертикальную черту приписывают единичную матрицу того же размера. Полученную матрицу с помощью элементарных преобразований сначала сводим к ступенчатому виду, затем, продолжая те же преобразования, приводим к такому виду, чтобы уже слева у преобразованной матрицы стояла единичная, тогда справа будет искомая А^-1.