Базисный минор матрицы

В матрице А обозначим её строки через

l₁ = (a₁₁ a₁₂ … a_1n);

l₂ = (a₂₁ a₂₂ … a_2n);

l_m = (a_m1 a_m2 … a_mn).

Определение 4. Строка l называется линейной комбинацией строк l₁, l₂ и т.д. l_m матрицы, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа.

l = λ ₁l₁ + λ ₂l₂ + … + λ _ml_m = 0,

где λ ₁, λ ₂, …, λ _m – действительные числа.

Если это равенство выполняется при λ _i = 0, то столбцы линейно-независимы. Если существуют λ _i ¹ 0, такие, что будет выполняться данное равенство, то столбцы линейно-зависимы. Аналогично и для строк.

Определение 5. Минор k-го порядка, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы, на пересечении которых стоит этот минор, называются соответственно базисными строками и столбцами.

Теорема о базисном миноре. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице можно найти r линейно-независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные строки (столбцы).

Следствие 1. Максимальное число линейно-независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно-независимых строк.

Следствие 2. Для того чтобы определитель был равен 0 необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно-зависимыми.

. §4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Основные понятия и определения

Определение 1. Системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида:

,

где a_ij – коэффициенты при переменных;

b_i – свободный член.

СЛУ можно записать в матричной форме. Обозначим

где А – матрица коэффициентов при переменных;

Х – матрица-столбец переменных;

В – матрица-столбец свободных членов;

– расширенная матрица.

Тогда СЛУ можно записать в матричной форме

А × Х = В.

Определение 2. Решением СЛУ называется такая совокупность чисел, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Определение 3. СЛУ называется однородной, если все свободные члены b_i = 0.

Определение 4. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной – если она не имеет решений.

Определение 5. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределённой – если она имеет более одного решения.

Определение 6. Две системы линейных уравнений называются равносильными (эквивалентными), если они имеют одно и то же множество решений.

Теорема Кронекера-Копелли. Для того чтобы СЛУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы этой системы.

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть система линейных уравнений совместна, т.е. существуют такие числа х₁ = с₁, х₂ = с₂, …, х_n = c_n, что справедливы равенства:

.

Рассмотрим расширенную матрицу и проведем над ней элементарные преобразования, т.е. покажем, что . Из последнего столбца матрицы вычтем 1-ый столбец умноженный на с₁, затем 2-ой столбец умноженный на с₂. В результате получим, что последний столбец расширенной матрицы равен нулю, следовательно его можно отбросить. Т.о. свели расширенную матрицу к матрице А. Значит, .

2) Достаточность.

Пусть . Тогда r базисных столбцов основной матрицы будут являться базисными столбцами и для расширенной матрицы. Тогда, по теореме о базисном миноре, любой столбец расширенной матрицы , в том числе и последний, представляет собой некоторую комбинацию указанных r базисных столбцов. Т.е. существуют такие числа х₁ = с₁, х₂ = с₂, …, х_n = c_n (r £ n) такие числа, что будут выполняться тождества

.

Но числа с₁, с₂, …, с_n являются решениями СЛУ, т.е. система совместна. Что и требовалось доказать.

Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных
(r_A = n), СЛУ имеет единственное решение.

Если ранг матрицы СЛУ меньше числа переменных (r_A < n), то СЛУ неопределённая или имеет бесконечное множество решений.

4.2. Методы решения систем линейных уравнений

4.2.1. Матричный метод

Пусть число уравнений СЛУ равно числу переменных (m = n), тогда матрица системы является квадратной. Для получения решения системы уравнений предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. det A ¹ 0. В этом случае существует обратная матрица А^-1. Умножим слева обе части матричного уравнения на матрицу А^-1. Получим

А × В = Х; А^-1 × А × Х = А^-1 × В,

т.к. А^-1 × А = Е, то Е × Х = А^-1 × В.

Откуда Х = А^-1 × В,

или, если Х × А = В, то Х × А × А^-1 = В × А^-1; Х = В × А^-1.

4.2.2. Формулы Крамера

Квадратная СЛУ с определителем основной матрицы отличной от 0, имеет и, при этом, единственное решение, определяема по формуле:

,

где j = 1, 2, …, n,

Δ – определитель матрицы А,

Δ _j – определитель матричной системы, в которой вместо j-того столбца ставится столбец свободных членов.

Возможны случаи:

1. D ¹ 0 – решение системы единственно

2. D = 0, но хотя бы одно D_j ¹ 0, тогда система не имеет решения.

3. D = 0, и все D_j = 0, тогда либо система не имеет решения, либо система имеет бесконечное множество решений.

4.2.3. Метод Гаусса

Метод Гаусса – это метод последовательного исключения переменных. Суть метода: с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находятся все остальные переменные.

Пример: Решим систему уравнений 1) матричным методом;

2) по формуле Крамера;

3) методом Гаусса.

.

1) Матричный метод

A × X = B; X = A^-1 × B

x₁ = -1; x₂ = 1; x₃ = 0.

2) По формуле Крамера:

Δ = -5

3) Методом Гаусса:

4.3. Отыскание всех решений системы линейных уравнений

Пусть дана система и ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы и равен r, r(A) = r() = r, r < n. Можно предположить, что базисный минор основной матрицы А находится в левом верхнем углу этой матрицы, тогда первые r строк, как основной так и расширенной матрицы, являются базисными строками этих матриц. По теореме о базисном миноре каждая из строк расширенной матрицы, начиная с r+1-ой строки, являются линейной комбинацией первых r-уравнений системы.

Рассмотрим первые r-уравнений системы, записав их в виде

Если придадим неизвестным x_r+1; …; x_n произвольные значения
c_r+1; …; c_n, то система превратится в квадратную систему r линейных уравнений для r неизвестных x₁; х₂; …; х_r, причём, определитель основной матрицы этой системы является отличным от 0 базисным минором матрицы А. Переменные х₁; х₂; …; х_r называются базисными. А переменные x_r+1; …; x_n – свободными. Решая систему любым из указанных выше методов получим решения соответствующие свободным неизвестным, т.е. данная система будет неопределённая.

Пример: Найти решение системы.

Отсюда следует, что система совместна, и т.к. r < n (2 < 4), то система имеет бесчисленное множество решений.

Т.к. базисный минор отличен от 0, то переменные х₁ и х₂ – базисные, а х₃; х₄ – свободные.

4.4. Система линейных однородных уравнений

СЛУ называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0.

Такая система имеет вид

СЛОУ всегда совместна, т.к. она всегда имеет по крайней мере нулевое (тривиальное) решение (0; 0; …; 0).

Теорема (о существовании нетривиального решения). СЛОУ имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа переменных (r < n).

Следствие. Для того, что бы квадратная СЛОУ имела нетривиальное решение необходимо и достаточно, что бы det A = 0. Всякая линейная комбинация решений СЛОУ является решением этой системы.

Определение 7. Система линейно независимых решений l₁; l₂; …; l_m, называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений l₁; l₂; …; l_m.

Теорема. Если ранг матрицы СЛОУ меньше числа переменных, то всякая фундаментальная система решений состоит из n-r решений, поэтому общее решение системы имеет вид

x = с₁l₁ + с₂l₂ + … + с_ml_m,

где l₁; l₂; …; l_m – любая фундаментальная система решений;

с₁; с₂; …; с_m – произвольные числа и m = n – r.

Лекция 3. §5. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО И ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА

5.1. Определение линейного пространства

Определение 1. Множество V назовём линейным пространством, а его элементы - векторами, если:

1. Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам сопоставляются элементы .

2. Задан закон (операция умножения на число), по которому для всех и произвольному числу a ставится в соответствие элемент, называемый произведением .

3. Для всех и для всех a, β выполняются требования:

1) ;

2) ;

3) существует нулевой элемент, такой, что ;

4) для каждого существует противоположный элемент (), такой, что ;

5) существует единичный элемент, такой, что ;

6) ;

7) ;

8) .

Примерами линейного пространства могут служить множество векторов, множество вещественных чисел, множество комплексных чисел, множество всех многочленов переменной, степень которых не выше заданного числа n.

5.2. Линейная зависимость элементов. Базис и координаты

Определение 2. Линейной комбинацией пространства V называют выражение вида

.

Определение 3. Элементы из линейного пространства V называются линейно-независимыми, если линейная комбинация является нулевым элементом пространства V лишь при условии, что a = β = … = j =0.

Определение 4. Элементы линейного пространства V называются линейно-зависимыми, если найдутся такие числа a, β, j, из которых хотя бы одно отлично от 0, что имеет место равенство:

.

Определение 5. Совокупность линейно-независимых элементов называется базисом этого пространства, если для каждого элемента найдутся такие числа ξ ₁, ξ ₂, …, ξ _n, что справедливо равенство

.

Равенство называется разложением элемента по базису , а числа ξ ₁, ξ ₂, …, ξ _n – координатами элемента .

Теорема 1. Каждый элемент линейного пространства V может быть разложен по базису единственным способом.

Теорема 2. При сложении двух элементов линейного пространства V их координаты складываются, а при умножении на любое число все координаты этого элемента умножаются на это число.

Определение 6. Линейное пространство V называется n-мерным, если в нём существует n линейно-независимых элементов, а любые n + 1 элементы уже являются линейно-зависимыми, при этом число n называется размерностью пространства V^`.

Теорема 3. Для того, чтобы линейное пространство V было n-мерным необходимо и достаточно, чтобы его базис состоял из n-элементов.

5.3. Евклидово пространство

Если в линейном пространстве V определена еще одна операция – скалярное произведение векторов, причём произвольным образом, лишь бы выполнялись определённые свойства этой операции, то такое пространство становится евклидовым.

Определение 7. Линейное пространство V называется вещественным евклидовым пространством, если выполняются свойства:

1) правило или закон, по которому двум элементам из пространства V ставится в соответствии действительное или вещественное число называемое скалярным произведением элементов ;

2) указанный закон подчиняется следствиям и аксиомам:

a) ;

b) ;

c) ;

d) > 0, если – ненулевой вектор;
= 0, если – нулевой вектор.

Теорема. Для любых элементов евклидова пространства справедливо неравенство Коши-Буняковского, которое гласит:

.

Определение 8. Линейное пространство V называется коррелированным, если выполнены требования:

1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу ставится в соответствие число, называемое нормой (длиной) указанного элемента и обозначается символом .

2. указанное правило подчинено аксиомам:

a). > 0, если – ненулевой элемент;
= 0, если – нулевой элемент;

b). для всех выполняется, что ;

c). для всех .

Теорема. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нём норму (длину) любого элемента х можно определить равенством, т.е.

.

В любом евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между элементами.

Определение 9. Углом φ между элементами назовём угол, косинус которого определяется соотношением

.

Определение 10. Элементы n-мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна 1, если l = j, т.е.

.

Определение 11. Два элемента называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Теорема. Если ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства, а элементы этого пространства, где

, , то

.

ЛЕКЦИЯ 7 5.4. Понятие вектора. Действие над векторами

Определение 12. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В.

Определение 13. Если начальная и конечная точки вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым вектором.

Длиной (модулем) называется число, равное длине отрезка АВ.

Длина нулевого вектора равна 0.

Различают связанные, скользящие и свободные векторы.

Определение 14. Связанными называют вектора, начало которых связано с определённой точкой пространства.

Определение 15. Скользящие вектора связаны с определённой прямой в пространстве.

Определение 16. Векторы, которые можно перемещать в пространстве параллельно самим себе называют свободными.

Определение 17. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Определение 18. Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Определение 19. Произведением вектора ā на число λ называется вектор , коллинеарный вектору ā, имеющий длину и имеющий направление совпадающие с направлением вектора ā, если λ > 0 и противоположное направление, если λ < 0.

Определение 20. Суммой двух векторов ā и называется вектор , идущий из начала вектора ā в конец вектора , при условии, что приложен к концу ā (правило треугольника).

Правило параллелограмма. Если векторы ā и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма ā + представляет собой диагональ, идущую из общего начала.

Умножение векторов на число и правило сложения удовлетворяет восьми аксиомам линейного пространства.

1. ;

2. ;

3. Для всех ā существует , такой, что ;

4. Для всех ā существует (-ā), такой, что ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

Определение 21. Разностью векторов ā и , приложенных к общему началу, называется , идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого.

5.5. Линейная зависимость векторов. Компланарность

Определение 22. Векторы называются линейно-зависимы-ми, если найдутся такие числа a₁, a₂, …, a_n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация .

Определение23. Векторы называются линейно-независимы-ми, если a₁ = a₂ = … = a_n = 0.

Теорема. Необходимым и остаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие. Если векторы ā и не коллинеарные, то они линейно-независимые.

Определение 24. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Следствие. Если векторы некомпланарны, то они линейно-независимы.

Теорема. Каковы бы ни были некомпланарные векторы для любого вектора найдутся такие числа λ, m, j, что справедливо равенство .

Любая тройка некомпланарных векторов образует базис в пространстве.

Любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов ā и образуют базис на этой плоскости.

Пример 1: Исследовать на линейную зависимость систему векторов

Решение. Вектора линейно-зависимы, если

,

или в координатной форме

Решим систему методом Гаусса:

.

В рассматриваемой системе векторов только 2 линейно-независимых вектора, система 3 векторов линейно-независима.

Пример 2: Дан вектор в базисе . Найти его координаты в базисе , если и связаны соотношениями:

Решение: Составим матрицу перехода U от базиса b к базису e, поставив в первый столбец матрицы коэффициенты первого уравнения, во второй столбец коэффициенты второго уравнения и т.д.

.

Найдём матрицу U^-1, обратную матрице U

.

Найдём координаты вектора х в базисе е, для чего вычислим произведение U^-1 × х = х`, где х – столбец координат вектора х в базисе b, а x` - столбец координат вектора х в базисе е.

.

Вектор х в базисе е:

Координаты вектора х в базисе е равны:

5.6. Проекция вектора на ось

Определение 25. Проекцией вектора на ось l называется величина А₁В₁ направленного отрезка на ось l.

Обозначается Пр_l ā.

Обозначим А₁В₁ основание перпендикуляров, опущенных на ось l из точек А и В.

Угол φ – угол наклона.Он определяется между двумя выходящими из произвольной точки А лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением оси l.

Теорема. Проекция вектора на ось l равна длине вектора , умноженной на косинус угла наклона вектора к оси l.

.

5.7. Основные свойства

1) При сложении двух векторов их проекции на произвольную ось складываются, т.е.

.

2) При умножении вектора на люое число проекция этого вектора также умножается на это число.

.

5.8. Декартова прямоугольная система координат

Декартова прямоугольная система координат является частным случаем аффинной системы, отвечающим тройке взаимно-ортогональных и единичных базисных векторов. В случае декартовой прямоугольной системы координат базисные векторы принято обозначать . Они имеют длину, равную 1 и взаимно-ортогональны.

Направление векторы берут с совпадающими с направлениями

.

Для любого вектора найдётся, и притом единственная, тройка чисел x, y, z такая, что

,

где x, y, z – координаты вектора .

Обозначим через a, β и γ углы наклона вектора к осям ОХ, OY, OZ. Три числа cos a, cos β, cos γ принято называть направляющими косинусами вектора . Тогда

.

С другой стороны

.

Тогда из этих формул следует, что

Возведя в квадрат и складывая последнее равенство получим

cos²a + cos²β + cos²γ = 1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна 1.

. §6. СКАЛЯРНОЕ, ВЕКТОРНОЕ, СМЕШАННОЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ

6.1. Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

.

Т.к. произведение есть проекция вектора на ось и длина есть проекция вектора на ось , то из этого следует, что

т.о. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из векторов умноженному на проекцию другого вектора.

С физической точки скалярное произведение – это работа постоянной силы на прямолинейном участке пути, равная скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

.

Алгебраические свойства.

1. ;

2. ;

3. ;

4.

Геометрические свойства.

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Следствие. Два ненулевых вектора и составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда скалярное произведение положительно (отрицательно).

6.2. Выражение скалярного произведения через координаты векторов

Пусть даны два вектора

Тогда скалярное произведение векторов

.

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов и является

.

Следствие 2. Угол между векторами и определяется

.

6.3. Векторное произведение векторов

Определение 2. Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой – вторым, какой – третьим.

Определение 3. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор расположен по ту сторону от плоскости, определяемую и , откуда кратчайший поворот от вектора к вектору кажется совершаемым против часовой стрелки (по часовой стрелки).

Следствие 1. При перестановке местами двух векторов её ориентация меняется.

Следствие 2. Если вектор тройки заменить на противоположных, то её ориентация изменится.

Следствие 3. При круговой перестановке векторов её ориентация не изменится, т.е.: – правая; – правая; – правая.

Определение 4. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий требованиям:

1. ;

2. перпендикулярен каждому из векторов и ;

3. вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

.

Физический смысл векторного произведения.

Если вектор изображает приложенную в некоторой точке М силу, а вектор идёт из точки О в точку М, то векторное произведение представляет собой момент силы относительно точки О.

,

где .

Алгебраические свойства.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Геометрические свойства.

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю векторного произведения.

Следствие. Если вектора и заданны координатами и , то условием коллинеарности векторов является пропорциональность соответствующих координат.

.

Теорема 2. Модуль (длина) векторного произведения равняется площади параллелограмма построенного на приведенных к общему началу векторах и .

.

6.4. Выражение векторного произведения векторов из координаты

Пусть даны векторы . Найдём векторное произведение векторов и .

Учитывая, что базисные векторы взаимно ортогональны, образуют правую тройку и имеют единичную длину, то получим, что , кроме этого , тогда получим

Разности, стоящие в скобках, представляют собой определители 2-го порядка, поэтому векторное произведение

.

Полученное выражение на основании свойства о разложении определителей 3-го порядка по элементам 1 строки можно записать в виде

.

6.5. Смешанное произведение векторов

Определение 5. Смешанное произведение векторов называется скалярная величина численно равная скалярному произведению векторного произведения векторов и на вектор , т.е. .

Теорема. Смешанное произведение векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах , взятому со знаком «+», если – правая тройка, со знаком «–», если – левая тройка. Скалярное произведение равно 0, если – компланарны.

Алгебраические свойства.

1. При перестановке любых двух сомножителей смешанного произведения знак меняется на противоположный.

.

2. При круговой перестановке знак не меняется.

.

3. Скалярное произведение векторного произведения на

Теорема. Для того чтобы векторы были компланарны необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0.

6.6. Выражение смешанного произведения через координаты.

Пусть вектора заданы координатами

Определим вначале произведение и .

.

Используя формулу для скалярного произведения, получим:

.

Пример: Вершины пирамиды находится в точках А(2; 3; 4), В(4; 7; 3), С(1; 2; 2), D(-2; 0; -1). Вычислить: 1) S грани АВС; 2) объём пирамиды АВСD.

1)

2)

Лекция 4 §7. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ

7.1. Общее уравнение прямой и его частные случаи

Если на плоскости задана произвольная прямая линия L и декартова система координат, то прямая L определяется в этой системе уравнением первой степени.

Пусть дано уравнение первой степени относительно декартовых координат

Ax + By + C = 0,

где A, B, C – постоянные, причём A, B – не равны 0.

Уравнение имеет хотя бы одно решение (x₀; y₀), т.е. существует хотя бы одна точка M₀(x₀; y₀), координаты которой удовлетворяют уравнению:

Ax₀ + By₀ + C = 0.

Вычитаем из первого уравнения второе, получаем что

A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0.

Это уравнение эквивалентно первому уравнению.

Докажем, что получившееся уравнение определяет прямую L, проходящую через точку M₀(x₀; y₀) и перпендикулярную вектору .

Т. к. точка M(x; y) лежит на прямой L, то вектор также лежит на этой прямой. В этом случае вектор перпендикулярен вектору , а значит их скалярное произведение (, ) равно 0.

Если же точка M(x; y) не лежит на прямой L, то её координаты не удовлетворяют уравнению, т.к. в этом случае векторы и не ортогональны и их скалярное произведение не равно 0. Следовательно, первое уравнение называется общим уравнением прямой. А последнее уравнение – уравнение прямой проходящей через точку.

Определение 1. Вектор называется нормальным вектором прямой.

Если хотя бы один их коэффициентов А; В; С равен 0, то уравнение называется неполным. Виды неполных уравнений:

1. С = 0 Аx + By = 0 прямая проходит через начало координат

2. B = 0 Ax + C = 0 прямая параллельна оси ординат

3. A = 0 By + C = 0 прямая параллельна оси абсцисс

4. B = 0; C = 0 Ax = 0 х = 0, уравнение оси ординат

5. A = 0; C = 0 By = 0 у = 0 уравнение оси абсцисс

7.2. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим уравнение прямой и покажем, что она может быть приведена к виду – уравнение прямой в отрезках.

Т.к. А, В, С – отличны от 0, перенесём С за знак равенства и разделим на (-С)

,

где .

Это отрезки, отсекаемые прямой на осях x, y.

7.3. Канонические уравнения прямой

Найдём уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) и имеющей заданный направляющий вектор

Вектора и коллинеарны, т.е. координаты этих векторов пропорциональны.

– каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁; y₁) M₂(x₂; y₂). За направляющий вектор такой прямой можно взять вектор . Прямая проходящая через точку M₁(x₁; y₁) имеет вид:

– уравнение прямой, проходящей через две точки.

7.4. Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения получаются из канонических уравнений, если принять за параметр t величину, стоящую в левом и правом частях уравнения, тогда получим

7.5. Прямая с угловым коэффициентом

Чтобы получить уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁; y₁) и имеющий заданный угловой коэффициент k, умножим обе части канонического уравнения на n и учтём, что , тогда получим

.

Пусть y₁ + kx₁ = b, тогда получим, что

– уравнение прямой с угловым коэффициентом,

где b – отрезок, отсекаемый прямой на оси OY.

7.6. Угол между двумя прямыми.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых

1. Пусть прямые заданы общими уравнениями

L₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0;

L₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0.

, тогда угол между прямыми L₁ и L₂ равен углу между нормальными векторами этих прямых.

.

Условие параллельности L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности и , и заключается в пропорциональности их координат:

.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то векторы и ортогональны, а значит их скалярное произведение равно 0:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

2. Пусть прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

.

Т.к. направляющими векторами L₁ и L₂ являются векторы ; , то получим, что угол между прямыми L₁ и L₂ есть угол между направляющими векторами и , и равен скалярному произведению этих векторов, делённому на произведение их длин.

.

Условие параллельности L₁ и L₂ эквивалентно условию коллинеарности и , и заключается в пропорциональности их координат:

.

Если прямые L₁ и L₂ перпендикулярны, то векторы и ортогональны, а значит их скалярное произведение равно 0.

m₁m₂ + n₁n₂ = 0

3. Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

L₁: y=k₁x+b₁;

L₂: y=k₂x+b₂.

Если a₁ и a₂ – углы наклона прямых к оси OX, а угол φ – угол между прямыми, то φ = a₂ - a₁. Тогда

.

Учитывая, что

k₁ = tga₁;

k₂ = tga₂,

то получим

.

Прямые L₁ и L₂ параллельны тогда и только тогда, когда тангенс угла между прямыми равен 0

k₁ = k₂.

Прямые L₁ и L₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда тангенс угла между прямыми равен 90°

k₁ × k₂ = -1.

7.7. Нормальное уравнение прямой. Отклонение точки от прямой

Рассмотрим произвольную прямую L₁, проведём через начало к