Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дəріс. Көпжақтар.
|
|
Қ ө пжақ тық бет деп қ иылысатын жазық тық тардың бө ліктерінен
(бө лімдері) қ ұ ралғ ан бетті айтамыз. Кө пжақ деп жазық кө пбұ рыштардан тұ ратын, кө пжақ ты бетпен шектелген денені айтамыз.Жазық тық тардың
| бө ліктерін бет деп айтады, ал ал олардың қ иылысу сызығ ын– | қ ырлар деп |
| атайды. Қ ырлардың қ иылысу нү ктелерін тө белер деп атаймыз. | Кө пжақ ты |
| беттің қ ырлары мен тө белерінің жиынтығ ы тор деп аталады. | |
| Кө п тарағ ан кө пжақ тар – призмалар жə не пирамидалар. Қ ырлары табанына | |
| перпендикуляр призманы, тү зу призма деп атайды.Егер тү зу | призманың |
| табаны – тік тө ртбұ рыш болса, оны параллелепипед деп атайды. |
Бір беті – кез-келген кө пбұ рыш болатын, ал қ алғ ан беттері – ортақ тө бесі бар ү шбұ рыш болатын кө пжақ ты – пирамида деп атайды.
Кө пжақ тардың кө птеген тү рлерінің ішінен ерекше топты дұ рыс дө ң ес
кө пжақ тар қ ұ райды.
Дұ рыс кө пжақ тар(Платон денелері) деп бү йір беттері – дұ рыс жə не тең
кө пбұ рыштар, ал тө бе бұ рыштары тең болатын кө пжақ тарды атаймыз.Ə р
дұ рыс кө пжақ қ а сырттай немесе іштей сфераны салуғ а болады.
Бес дұ рыс кө пжақ тар бар:
1. Тетраэдр (тө ртжақ)тө рт тең бү йірлі жə не тең ү шбұ рыштармен
шектелген. Тетраэдр – дұ рыс ү ш беттік пирамида.
2. Гексаэдр (алтыжақ)немесе куб.Оның беті алты тең квадраттардантұ рады.
3. Октаэдр (сегізжақ).Оның беті сегіз тең ү шбұ рыштардан тұ рады.Куб
жə не октаэдрдің қ ырларының саны бірдей. Октаэдрғ а кубты салуғ а болады, ал кубқ а октаэдрді бір кө пжақ тың тө белері екіншісінің бү йірінің центірімен сə йкес болатындай салуғ а болады. Бұ ндай кө пжақ тарды ө зара сə йкес деп атайды.
4. Додекаэдр (он екі жақ)бес бірдей жə не тең бесбұ рыштармен шектелген.Ə р тө беге ү ш бесбұ рыш қ осылғ ан.Додекаэдрге дұ рыс жиырмажақ сə йкес келеді.
5. Икосаэдр (жиырмажақ).Оның беті бірдей жə не тең жиырмаү шбұ рыштардан қ ұ ралғ ан, жə не ə рбір тө бесі бес ү шбұ рышты біріктіреді. Икосаэдрге додекаэдрді салса болады. Икосаэдр жə не додекаэдр ө зара сə йкес кө пжақ тар болып табылады.
Тетраэдр ө зіне ө зі сə йкес келеді.
| Кесте 5.1 | Ə рбір ө зара сə йкес кө пжақ тар | |||||||||||||||||||
| жұ бының | біреуінің | беттер | , саны | |||||||||||||||||
| Атауы | Бетінің | Б | Т | Қ | екіншісінің | тө белер | санына | сə йкес | ||||||||||||
| пішіні | келеді, | ал | қ ырларының | саны | тең | |||||||||||||||
| Тетраэдр | болады. | қ асиеттерін Эйлер | ||||||||||||||||||
| Кө пжақ тардың | ||||||||||||||||||||
| Гексаэдр (куб) | ||||||||||||||||||||
| зерттеген | ол | дө ң ес | кө пжақ тардың | |||||||||||||||||
| Октаэдр | ||||||||||||||||||||
| барлық | тү рлерінің | беттерінің | саны | |||||||||||||||||
| Додекаэдр | (Б), тө белерінің (Т) жə не қ ырларының | |||||||||||||||||||
| (Қ) | сандарының | қ атынасын | ||||||||||||||||||
| Икосаэдр | ||||||||||||||||||||
| анық тайтын теореманы жазды. | ||||||||||||||||||||
| Теорема.Кез келген дө ң ес кө пжақ тың бетттері мен тө белерінің санының | ||||||||||||||||||||
| қ осындысынан қ ырлар санының айырмасы екіге тең, яғ ни | ||||||||||||||||||||
| Б + Т – Қ =2. | ||||||||||||||||||||
| Кө пжақ тын | қ ырларының | кө рінетіндігі. | ||||||||||||||||||
| Кө рінетіндікті анық тау ү шін бə секелес нү ктелер ə дісі | ||||||||||||||||||||
| қ олданылады(5.1-сурет). Кө пжақ тың | проекциясының | |||||||||||||||||||
| сыртқ ы | контуры | ə рдайым | кө рінеді.Контурдың | |||||||||||||||||
| ішіндегі қ ырлардың кө рінетіндігін ə рбір проекцияда | ||||||||||||||||||||
| қ ырлардың | ө зара | орналасуын | пайдалана | отырып, | ||||||||||||||||
| бө лек анық тау керек. | ||||||||||||||||||||
| 5.1-суретте тө ртжақ тың проекциялары берілген. | ||||||||||||||||||||
| Фронталь | проекцияда | айқ асып | жатқ ан | қ ырлардың | ||||||||||||||||
| бə секелес | нү ктелері 1 | жə не | 2, | ал | горизонталь | |||||||||||||||
| проекцияда – 3 жə не 4 нү ктелері. Бə секелес | ||||||||||||||||||||
| нү ктелердің | ө зара | орналасуына | қ арап | фронталь | ||||||||||||||||
| проекцияда АD қ ыры кө рінетін, | ал ВС – кө рінбейтін | |||||||||||||||||||
| анық таймыз. | ||||||||||||||||||||
| 5.1-сурет | Горизонталь проекцияда BD | қ ыры | кө рінетін, | ал | ||||||||||||||||
| АС –кө рінбейтін қ ыр болады. | ||||||||||||||||||||
| Кө пжақ тың жазық тық пен қ иылысуы. | ||||||||||||||||||||
| Жазық | кө пбұ рыш – кө пжақ | беттің | жазық тық пен | қ иылысу | сызығ ы | болып | ||||||||||||||
| табылады. | Оның | тө бесі | мен | жақ тары– | берілген | жазық тық тың | берілген | |||||||||||||
| геометриялық дене | беттері | мен | қ ырларының | қ иылысуымен | анық талады. | |||||||||||||||
| Осындай | ə діспен, | қ иманы | тұ рғ ызу | ү шін | берілген | жазық тық пен | қ ырлардың |
қ иылысу нү ктелерін табады, немесе жазық тық кө пжақ тың беттерін қ иятындай
| тү зулерді | тұ рғ ызады. Бірінші | ə дісті – қ ырлар | ə дісі, | екіншісін – беттерə дісі | |||||||||||
| деп атайды. | |||||||||||||||
| Қ июшы жазық тық проекциялаушы болса, қ иманы табу | жең іл.Бұ л | ||||||||||||||
| жағ дайда қ иманың бір проекциясы проекцияланатын ізбен | сə йкеседі.5.2- | ||||||||||||||
| суретте А 1, В 1, С 1 | қ имасының фронталь проекциясы қ июшы | жазық тық a1 | |||||||||||||
| фронталь | ізімен | сə йкеседі.Кө пжақ тың сə йкес қ ырларынан | горизонталь | ||||||||||||
| проекцияғ а дейін байланыс тү зулерін жү ргізсек, | |||||||||||||||
| қ иманың горизонталь проекциясын аламыз. | |||||||||||||||
| Тік | призма | мен | жалпы | жағ дайда | |||||||||||
| жазық тық тың | қ иылысуы. | Қ июшы жазық тық екі | |||||||||||||
| қ иылысатын | тү зулермен | берілген– горизонталь | |||||||||||||
| жə не | фронталь. | Призманың | бү йір | беттері– | |||||||||||
| горизонталь | проекциялаушы | жазық тық тар | |||||||||||||
| болғ андық тан | қ иманың | горизонталь | проекциясы | ||||||||||||
| белгілі | - ол бү йір беттерінің жə не | қ ырларының | |||||||||||||
| проекцияларымен сə йкеседі. Қ иманың фронталь | |||||||||||||||
| проекциясын | тұ рғ ызу | ү шін | қ июшы | жазық тық қ а | |||||||||||
| 5.2-сурет | тиісті | А, | В, | С | нү ктелерінің | фронталь | |||||||||
| проекцияларын | анық тау | қ ажет. А 2 | жə не В 2 | ||||||||||||
| нү ктелері арқ ылы (1, 2) тү зуінің – горизонталь (1222) | |||||||||||||||
| проекциясын | жү ргіземіз. (1121) | тү зуінің фронталь проекциясында А 1, | В 1 | ||||||||||||
| фронталь проекцияларын табамыз. С нү ктесі арқ ылы f´ фронталінің f´ 2 | |||||||||||||||
| горизонталь | проекциясын | жү ргіземіз, ал | |||||||||||||
| содан кейін оның фронталь проекциясын | |||||||||||||||
| тұ рғ ызамыз. | Призманың | сə йкес | қ ырымен | ||||||||||||
| қ иылысқ анда | С нү ктесінің ізделініп отырғ ан | ||||||||||||||
| проекциясын табамыз. | |||||||||||||||
| Пирамиданың | жалпы | жағ дайдағ ы | |||||||||||||
| жазық тық пен қ иылысуы. Алдың ғ ы есепке | |||||||||||||||
| қ арағ анда, | бұ л | есепте | қ иманың | ||||||||||||
| проекциясын да тұ рғ ызу қ ажет.Қ июшы | |||||||||||||||
| жазық тық тың | горизонталь ізі пирамиданың | ||||||||||||||
| табанын | қ имайды, сондық тан | оның | бү йір | ||||||||||||
| беттері қ иылады. Қ иманың пішіні ү шбұ рыш | |||||||||||||||
| болуы | керек, | пирамида | қ ырларының | ||||||||||||
| жазық тық пен | қ иылысу | нү ктелері– | |||||||||||||
| ү шбұ рыштың тө белері болады. SC қ ырының | |||||||||||||||
| a (fÇ h)жазық тық пен D | қ иылысу | нү ктесі– | |||||||||||||
| фронталь | проекциялаушы b | жазық тығ ының | |||||||||||||
| кө мегімен | Е | табылды. | Осындай | тə сілмен, | |||||||||||
| қ иманың | нү ктесін | де | табуғ а | болады. | |||||||||||
| Алайда, басқ а тə сілді | де | қ олданса | болады. | 5.3-сурет | |||||||||||
Сурет 5.4
5.5-сурет
| Пирамиданың АСS бетінің | ізі | болып | ||||||||||
| табылатын, | АС | қ ырын | қ июшы | |||||||||
| жазық тық тың горизонталь ізімен 3 деген | ||||||||||||
| нү ктеде | қ иылысқ анынша | созамыз. D | ||||||||||
| жə не 3 | нү ктелері | берілген | бетпен | |||||||||
| қ июшы | жазық тық тың | қ иылысу | сызығ ы | |||||||||
| ED- ғ а тиісті. F нү ктесін осындайə діспен | ||||||||||||
| тұ рғ ызамыз, | себебі BS | қ ыры | арқ ылы | |||||||||
| жү ргізілген | қ осымша | қ июшы | ||||||||||
| проекциялаушы жазық тық проекцияның | ||||||||||||
| профиль | жазық тығ ына | параллель | ||||||||||
| болады | да, | ешқ андай | шешімге | алып | ||||||||
| келмейді. | ||||||||||||
| 4 нү ктесі ABS | бетінің | горизонталь | ||||||||||
| проекциясы | мен | қ июшы | жазық тық тың | |||||||||
| қ иылысу | нү ктесі | болып | табылады. | |||||||||
| Табылғ ан | нү ктелерді | тү зумен | қ осып | |||||||||
жə не фронталь проекцияда қ иманың кө рінбейтін DE бө лігін белгілеп, есептің шешімін аяқ таймыз.
Тү зудің кө пжақ пен қ иылысуы (5.5-
| сурет). Бұ л | есеп 3 | қ адамда | шешіледі: 1) | ||||
| берілген | тү зу | арқ ылы | қ июш | ||||
| жазық тық ты | жү ргізеді; | 2) | қ июшы | ||||
| жазық тық | пен | кө пжақ тың | қ иылысу | ||||
| сызығ ын тұ рғ ызады; 3) берілген тү зудің | |||||||
| қ има контурымен | қ иылысу | сызығ ын | |||||
| анық тайды. | |||||||
| Екі | кө пжақ тың | қ иылысу | сызығ ы | ||||
| кең істік тұ йық сызық болып табылады. | |||||||
| Кей ерекше жағ дайларда бұ л сынық екі | |||||||
| тұ йық | сынық қ а | бө лінуі | мү кін.Бір | ||||
| кө пжақ тың | қ ырларының екінші | ||||||
| кө пжақ тың | беттерімен | қ иылысуы | |||||
| нү ктелері | сынық тың | тө белері | болып | ||||
| табылады. | Сынық тың | қ абырғ алары – | |||||
| тү зу кесінділері болып табылады, олар | |||||||
| арқ ылы | кө пжақ тардың беттері | ||||||
| қ иылысады. | Егер | сынық тың | тө белері | ||||
| мен қ абырғ алары сə йкесінше– жалпы | |||||||
| жағ дайдағ ы | кө пжақ | беттерінің | екінші |
кө пжақ тың проекциялаушы беттері жə не
қ ырларымен қ иылысу нү ктелері жə не сызығ ы ретінде анық талса, есепті шешу жең іл болады.
Екі пирамида бетінің, призма жə не пирамиданың, екі призманың қ иылысу сызығ ын тұ рғ ызу кезінде, кө мекші жазық тық ретінде жалпы жағ дайдағ ы жазық тық тарды пайдаланса болады:
1. екі пирамида – кө мекші жазық тық тар пирамидалар тө белерімен ө туі тиіс;
2. пирамида жə не призма– кө мекші жазық тық тар призманың бү йір беттеріне параллель болуы керек жə не пирамида тө бесінен ө туі қ ажет;
| 3. екі | призма – кө мекші жазық тық тар | екі | призманың бү йір | беттеріне | |||||||||||||
| параллель боуы керек. | Пирамиданың | призмамен | |||||||||||||||
| қ иылысуы. | Призманың | бү йір | |||||||||||||||
| қ ырлары | нү ктелерге | проек- | |||||||||||||||
| цияланады, | ал | бү йір беттері | |||||||||||||||
| горизонталь | проекциялаушы | ||||||||||||||||
| жазық -тық тарды | анық тайды. | ||||||||||||||||
| Сондық тан, | кө пжақ -тардың | ||||||||||||||||
| қ иылысу | сызы-ғ ының | бір | |||||||||||||||
| проекциясы | белгілі. | Пирамида | |||||||||||||||
| мен | призманың | қ иылысу | |||||||||||||||
| нү ктелері | горизонталь | ||||||||||||||||
| проекцияда | оң ай | анық талады. | |||||||||||||||
| Байланыс | сызық тары | арқ ылы | |||||||||||||||
| фронталь | проекцияларын | ||||||||||||||||
| тұ рғ ызамыз. | Призманың | ||||||||||||||||
| вертикаль | қ ырларының | ішінен | |||||||||||||||
| тек | біреуі | ғ ана | приамиданы | ||||||||||||||
| қ иып | ө теді. | Осы | қ ырдың | ||||||||||||||
| 5.6-сурет | қ иылысу | нү ктесін | қ осымша, | ||||||||||||||
| горизонталь | проекциялаушы | ||||||||||||||||
| жазық тық ты(бұ л жазық тық – берілген қ ыр бойынша жə не пирамиданың тө бесі | |||||||||||||||||
| арқ ылы | ө теді) | енгізу | арқ ылы | анық таймыз.Нү ктелердің | тұ рғ ызылғ ан | ||||||||||||
| проекцияларын қ осамыз, бұ л кезде горизонталь проекцияғ а сү йену қ ажет. | |||||||||||||||||
| Негізгі ə дебиет: 1нег.[95-116], | 2 нег. [111-146 ] | ||||||||||||||||
| Қ осымша ə дебиет: 1нег.[37-57]. | |||||||||||||||||
| Бақ ылау сұ рақ тары: | |||||||||||||||||
| 1.Қ андай кө пжақ тарды дұ рыс кө пжақ тар деп атаймыз? | |||||||||||||||||
| 2.Кө пжақ ты | жалпы | жағ дайдағ ы | жазық тық пен | қ иылысуының | қ имасын | ||||||||||||
| тұ рғ ызудың мə нін тү сіндірің із. | |||||||||||||||||
| 3.Тү зудің | кө пжақ пен | қ иылысуы | нү ктесін | тұ рғ ызудың | алгоритмін | баяндап | |||||||||||
| берің із. | |||||||||||||||||
| 4.Кө пжақ тардың | ө зара | қ иылысуының | қ иылысу | сызығ ын | тұ рғ ызудың | екі | |||||||||||
| ə дісінің мə нін тү сіндірің із. |
| 6-дə ріс. Кө ріністер, тіліктер, қ ималар. МЕСТ 2.305-68. | |||||
| Проекциялық | сызба | деп | кең істіктік | геометриялық | , бейнелер |
| проекциялау ə дістері бойынша жазық тық тарда орындалғ ан салуларды айтамыз. | |||||
| Техникалық сызу | сызбаларында | кең тарағ ан жə не | қ ұ рылыс, ө неркə сіптің | ||
барлық салаларында қ олданылатын, ө зара перпендикуляр жазық тық тарғ а проекциялау ережелері МЕСТ 2.305-68 –мен анық талады.
Проекциялау ə дісінің ең негізігсі болып, бірінші бұ рыш ə дісі(Е ə дісі) табылады. Мұ нда зат ө зара перпендикуляр проекциялар жазық тығ ынына тік бұ рышпен проекцияланады, бұ л кезде бейнеленетін зат бақ ылаушы мен сə йкес проециялар жазық тығ ының арасында орналасады.
| Келесідей | кө рінстердің | ||||||||
| тү рлері анық талғ ан: | |||||||||
| – | алдынан | қ арағ андағ ы | |||||||
| кө рініс | (негізгі | кө рініс | |||||||
| Фронталь проекция | |||||||||
| жазық тығ ы | немесе | фасад), | бейне | ||||||
| фронталь | проекциялар | ||||||||
| жазық тығ ында; | |||||||||
| – жоғ арыдан | қ арағ андағ ы | ||||||||
| кө рініс (план); | |||||||||
| – | сол | жақ | кө рініс, | бү йір | |||||
| фасад; | |||||||||
| – оң жақ кө рініс; | |||||||||
| – астың ғ ы кө рініс; | |||||||||
| 6.1-сурет | |||||||||
| – артқ ы кө рініс (артқ ы фа- | |||||||||
сад).
Проекцияның фронталь жазық тығ ындағ ы бейнелер сызбада басты ретінде алынғ ан. Бұ йым фронталь проекция жазық тығ ына қ атысты бейне бұ йымның пішіні жə не ө лшемдері жө нінен мү мкіндігінше толық ақ парат бере алатындай орналастырылады.
Бейнелеулер саны минималды, бірақ сызбаны оқ у ү шін жеткілікті болуы керек. Сызбада – кө ріністердің шартты аттары жазылмайды, егер бұ л
 кө ріністер проекциялық
| байланыста | ||||
| болса, | яғ ни | келесідей | тə ртіпте: | ||
| жоғ арыдан кө рініс – басты кө ріністің | |||||
| астында; | сол | жақ | кө рініс– | басты | |
| кө ріністің оң жағ ында; оң жақ кө рініс | |||||
| – басты | кө ріністің | сол | жағ ында; | ||
| астың ғ ы | кө рініс – басты | кө ріністің | |||
ү стің гі жағ ында; артқ ы кө рініс – сол
жақ кө ріністің оң жағ ында.
6.2-сурет
| Басты кө рініске қ атысты жеке бейнелер (кө ріністер) суретте кө рсетілгендей | ||||||
| проекциялар жазық тығ ын бір ғ ана жазық тық қ а жаяды. Кө рініс – бақ ылаушығ а | ||||||
| бұ йым бетінің кө рінетін бө лігі қ аратылғ ан бейне. | ||||||
| Бейнелердің | санын | азайту | ||||
| мақ сатында, кө ріністерде бұ йым бетінің | ||||||
| кө рінбейтін бө ліктерін ү зік сызық тармен | ||||||
| кө рсетуге рұ қ сат етілген (6.3- сурет). | ||||||
| Тілік | — | бір | немесе | бірнеше | ||
| жазық тық пен ойша қ иылғ ан нə рсенің | ||||||
| кескіні. Тілікті орындағ ан кезде, | қ июшы | |||||
| жазық тық тың ө зінде не жатқ анын жə не | ||||||
| оның | ар | жағ ында | не | жатқ а | ||
| кескінделеді | (6.4-сурет). | Қ июшы | ||||
| жазық тық тың | арғ ы | жағ ындағ ының | ||||
| барлығ ын салмауғ а рұ қ сат бар, егер ол | ||||||
| бұ йымның | конструкциясын | тү сіну ү шін | ||||
| 6.3-сурет | қ ажет болмаса (6.5-сурет). |
| 6.4-сурет | 6.5- | ||
| Қ има—нə рсені бір | |||
| немесе | |||
| бірнеше | жазық тық пен | ||
қ иғ аннан шық қ ан фигура кескіні (6.6-сурет). Қ имада тек қ июшы
| жазық тық та | не пайда | болады, |
| тек сол ғ ана кө рсетіледі. Қ июшы | ||
| ретінде | цилиндрлік | |
| қ олдануғ а | рұ қ сат | , |
| кейінде | ол |
жайылады (6.7-сурет).
6.7-сурет
Негізгі ə дебиет: 4нег.[40-46], 5нег.[69-101]
Қ осымша ə дебиет: 2қ ос.[148-186].
Бақ ылау сұ рақ тары:
1. Негізгі кө ріністерді атаң ыз.
2. Тілік дегеніміз не? Тіліктің негізгі тү рлерін атаң ыз.
3. Қ андай бейнелер ү шін жартылай кө рініс, жартылай тілік біріктіріледі?
4. Қ има дегеніміз не? Тілік пен қ иманың айырмашылығ ы қ андай?
5. Жергілікті тілік дегеніміз не?
6. Тіліктерді қ алай белгілейміз?
| Дə ріс 7. | Аксонометриялық проекциялар. | |||||||||||||
| Аксонометриялық проекция немесе аксонометрия деп (аксон- ось, метро – | ||||||||||||||
| ө лшеймін) кең істіктік пішім жə не осы пішім жататын, координаттар жү йесінің | ||||||||||||||
| параллель сə улелер тобының қ андай да бір П´ жазық тығ ына проекциясы. | ||||||||||||||
| А ´ - | А | нү ктесінің | ||||||||||||
| / | z | аксонометриялық | ||||||||||||
| s | проек-циясы. | А´ 1 | – А | |||||||||||
| z / | П | |||||||||||||
| A | нү ктесінің | екінші | ||||||||||||
| ¢ | ez | проекциясы. | ||||||||||||
| A | / | / | ex | Аксонометриялық | бір- | |||||||||
| e | ey | y | ||||||||||||
| / ex / | z | O | ey | O | ліктің | оның | нақ ты | |||||||
| Ax | x | Ax | A | ұ зындығ ына | қ атынасы | |||||||||
| y / | бұ рмалану | коэффи- | ||||||||||||
| x / | A | / | s | |||||||||||
| циенті | деп | аталады: | ||||||||||||
| u=e´ x/ex | , | v=e´ y/ey, | ||||||||||||
| 7.1-сурет | w=e´ z/ez. |
u=v=w – изометрия;
u=w – диметрия;
u≠ v≠ w – триметрия;