Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы.
|
|
Теорема. Тү зу жазық тық қ а перпендикуляр болуы ү шін оның горизонталь
| проекциясы | жазық тық тың | горизонталіне, | фронталь | проекциясы | ||||||||||
| жазық тық тың фронталіне перпендикуляр болуы қ ажет жə не жеткілікті. | ||||||||||||||
| 8.1-мысал. А | нү ктесі | арқ ылы | ө тетін | жə не | ||||||||||
| a (М, m)жазық тығ ына перпендикуляр жазық тық | ||||||||||||||
| салу керек (8.2-сурет). | ||||||||||||||
| Алдымен a жазық тығ ының горизонталі мен | ||||||||||||||
| фронталін жү ргізу керек.Жең ілдік | ү шін a | |||||||||||||
| жазық тығ ының h горизонталін жə не f | фронталін | |||||||||||||
| оның М нү ктесі арқ ылы жү ргіземіз. Ізделінді а | ||||||||||||||
| тү зуінің | а 2 | фронталь | проекциясын А 2 | нү ктесі | ||||||||||
| арқ ылы | f 2 | тү зуіне | перпендикуляр | етіп, ал | а 1 | |||||||||
| проекциясын | А 1нү ктесі | арқ ылы h 1 | тү зуіне | |||||||||||
| перпендикуляр етіп жү ргіземіз. | ||||||||||||||
| Екі жазық тық тың перпендикулярлығ ы. a | ||||||||||||||
| жазық тығ ы | b жазық тығ ына перпендикуляр тү зу | |||||||||||||
| 8.2 -сурет | арқ ылы | ө тетін | болса | немесе b | жазық тығ ында | |||||||||
| жатқ ан b тү зуіне | перпендикуляр | болса, | a мен b | |||||||||||
| жазық тық тары ө зара перпендикуляр болады. | ||||||||||||||
| Кең істіктегі белгілі бір М нү ктесі арқ ылы берілген b жазық тығ ына | ||||||||||||||
| перпендикуляр қ анша болса да a 1, a 2, … жазық тық тарын жү ргізуге болады. Бұ л | ||||||||||||||
| жазық тық тардың | барлығ ы М | нү ктесінен | b | жазық тығ ына | тү сірілген а | |||||||||
| перпендикуляры | арқ ылы ө тетін | болады. a 1, a 2, … жазық тық тарының жиыны | ||||||||||||
| жазық тық тар | шоғ ын қ ұ райды. | Бұ л | ||||||||||||
| жазық тық тардың біреуі ғ ана анық талу ү шін | ||||||||||||||
| тағ ы бір қ осымша шарт болуы керек. | ||||||||||||||
| 8.2-мысал. | Берілген l (l 1, l 2) | тү зуі | арқ ылы | |||||||||||
| ө тетін | жə не a (h Ç f) | жазық тығ ына | ||||||||||||
| перпендикуляр b жазық тығ ын жү ргізу керек. | ||||||||||||||
| (8.3-сурет). | l (l 1, l 2) | |||||||||||||
| Берілген | тү зуінің | бойында | ||||||||||||
| қ алауымызша А нү ктесін таң дап аламыз. А | ||||||||||||||
| нү ктесінен | a | жазық тығ ына а | ||||||||||||
| перпендикулярын | тү сіреміз, яғ ни | А 1Ì (а 1)^ f 1, | ||||||||||||
| А 2Ì (а 2)^ h 2. | ||||||||||||||
| А | нү ктесінде | қ иылысатын а | жə не l | |||||||||||
| 8.3-сурет | ||||||||||||||
| тү зулері | b | а | жазық тығ ын | анық тайды, b | ||||||||||
| жазық тығ ы | тү зуі | арқ ылы | ө теді | жə не a | ||||||||||
| жазық тығ ына перпендикуляр болады. |
Ө зара перпендикуляр жалпы жағ дайдағ ы тү зулерді салу. Екі тү зудің біреуі арқ ылы екіншісіне перпендикуляр жазық тық жү ргізуге мү мкіндік болса, олар ө зара перпендикуляр болады.
| 8.3-сурет. | Берілген l | тү зуімен | тік | бұ рыш | ||||||||||||||
| жасап қ иылысатын а тү зуін жү ргізу керек. (8.4- | ||||||||||||||||||
| сурет). | Алдымен | А | нү ктесі | арқ ылы l | тү зуіне | |||||||||||||
| перпендикуляр | a | жазық тығ ын | жү ргіземіз: | |||||||||||||||
| А 1Ì (f 1)^ l 1; А 2Ì (h 2)^ l 2; А 1Ì (h 1)^ A 1 A 2; А 2Ì (f 2)^ A 1 | ||||||||||||||||||
| A 2; a (h Ç f). | a жазық тығ ы h горизонталімен жə не | |||||||||||||||||
| f | фронталімен | анық талады. | Бұ л | a | ||||||||||||||
| жазық тығ ының кез келген тү зуі l тү зуіне | ||||||||||||||||||
| перпендикуляр болады, бірақ соның ішінде тек | ||||||||||||||||||
| қ ана бір тү зу l тү зуін қ иятын болады. Берілген l | ||||||||||||||||||
| тү зуінің | a | жазық тығ ымен | қ иылысу | нү ктесін | ||||||||||||||
| табамыз: (К)= l Ç a. Табылғ ан К жə не А | ||||||||||||||||||
| нү ктелерімен | анық талатын а | тү зуі А | нү ктесі | |||||||||||||||
| арқ ылы | ө теді | жə не l тү зуіне | перпендикуляр | |||||||||||||||
| болады, ө йткені а Ì a ^ l. | ||||||||||||||||||
| Кесіндінің ұ зындығ ын табу(тік бұ рышты | ||||||||||||||||||
| ү шбұ рыш | тə сілі). Жалпы | жағ дайдағ ы | тү зуі | |||||||||||||||
| кесіндісінің ортогональ проекциялары ə рқ ашан | ||||||||||||||||||
| кесіндінің | ө зінің ұ зындығ ынан кем | болады. | ||||||||||||||||
| 8.4-сурет | ||||||||||||||||||
| (8.5-сурет). | АВ | кесіндісінің | ұ зындығ ын бір | |||||||||||||||
| катеті кесіндінің А 2 В 2 | горизонталь | проекциясы | ||||||||||||||||
| болатын, ал екінші катеті - кесінді ұ штарының z координаттарының айырмасы | ||||||||||||||||||
| D z болатын (кесіндінің фронталь проекциясынан алынады) | А 2 В 2 А 0тік бұ рышты | |||||||||||||||||
| ү шбұ рышынан | анық тауғ а | болады.Тік | бұ рышты | ү шбұ рыштың А 0 В 2 | ||||||||||||||
| гипотенузасы | кесінді | ұ зындығ ының | нақ ты | шамасы. | боАлады осы | |||||||||||||
| ү шбұ рыштағ ы | a | бұ рышы | ||||||||||||||||
| кесіндінің | П 2 | жазық - | ||||||||||||||||
| тығ ына | кө лбеулік | бұ рышы | ||||||||||||||||
| болып | . табылады | |||||||||||||||||
| Кесіндінің ұ зындығ ын дə л | ||||||||||||||||||
| осындай | жолмен | оның | ||||||||||||||||
| фронталь | проекциясында | |||||||||||||||||
| тік | бұ рышты | ү шбұ рыш | ||||||||||||||||
| салу | арқ ылы | табуғ а | ||||||||||||||||
| болады. | Мұ ндағ ы | b | ||||||||||||||||
| бұ рышы | кесіндінің П 1 | |||||||||||||||||
| жазық тығ ымен | жасайтын | |||||||||||||||||
| кө лбеулік | бұ рышын | |||||||||||||||||
| анық тайды. | ||||||||||||||||||
| 8.5-сурет | ||||||||||||||||||
Сызбаны тү рлендіру тə сілдері. Берілген проекциялары бойыншафигураның жаң а проекцияларын салуды сызбаны тү рлендіру деп атайды. Сызбаны тү рлендіру екі ə діспен жасалады:
1. Фигураның негізгі П 1, П 2, П 3 проекция жазық тық тарына қ атысты орнын ө згерту арқ ылы сызбаны тү рлендіру.
2. Кө мекші проекция жазық тығ ын енгізу арқ ылы сызбаны тү рлендіру. Проекция жазық тық тарын алмастыру тə сілі осы ə діске негізделген.
Фигураның негізгі П 1, П 2, П 3 проекция жазық тық тарына қ атысты орнын
| ө згерту | арқ ылы | сызбаны тү рлендіру | ə дісінде | фигураны | есепті | шығ аруғ а | ||||||
| қ олайлы болатындай етіп орналастырады. Фигураның қ озғ алысына байланысты | ||||||||||||
| тө мендегідей тə сілдер болады: | ||||||||||||
| а) жазық -параллель ығ ыстыру тə сілі; | ||||||||||||
| б) проекциялаушы тү зуден айналдыру тə сілі; | ||||||||||||
| в) дең гейлік тү зуден айналдыру тə сілі. | ||||||||||||
| Жазық -параллель ығ ыстыру тə сілі. | ||||||||||||
| Жазық -параллель | ығ ыстыру | деп | фигураның | оның | нү ктелері | ө зар | ||||||
| параллель жазық тық тарда жататын траекториялардың бойымен орындарын | ||||||||||||
| ө згертетіндей етіп қ озғ ауды айтады.Кө біне проекциялар жазық тық тарының | ||||||||||||
| біреуіне параллель бағ ытта жазық -параллель ығ ыстыру тə сілін қ олданады. | ||||||||||||
| Фигураның соң ғ ы орнын анық тау ү шін тү рлендірудің инварианттарын білу | ||||||||||||
| керек. Фигураның берілген проекциялары бойынша оның жаң а проекциясын | ||||||||||||
| салуғ а мү мкіндік беретін қ асиеттерді тү рлендірудің | инварианттары | деп | ||||||||||
| атайды. | ||||||||||||
| Жазық -параллель ығ ыстыру тə сілінің инварианттары: | ||||||||||||
| 1) қ озғ алу бағ ытына параллель жазық тық тағ ы проекция ө зінің пішінін жə не | ||||||||||||
| ө лшемдерін сақ тап орнын ауыстырады; | ||||||||||||
| 2) нү ктелердің | қ озғ алу | жазық тығ ына | перпендикуляр | жазық тық тағ ы | ||||||||
| проекциялары проекциялық байланыс сызық тарына перпендикуляр тү зулердің | ||||||||||||
| бойымен қ озғ алады. | ||||||||||||
| Сызбаны тү рлендірумен шығ арылатын негізгі есептер. | ||||||||||||
| Сызбаны тү рлендірумен шығ арылатын барлық есептер негізгі тө рт есепті | ||||||||||||
| шығ аруғ а келіп тіреледі. Осы есептерді жазық -параллель ығ ыстыру тə сілімен | ||||||||||||
| шығ арып кө рсетейік. | ||||||||||||
| 1-есеп. Жалпы жағ дайдағ ы тү зуді дең гейлік жағ дайғ а келтіру. Егер біз l | ||||||||||||
| тү зуін горизонталь жағ дайғ а келтіргіміз келсе, онда | оны П 1 жазық тығ ына | |||||||||||
| қ атысты жазық -параллель ығ ыстыру керек.(8.6-сурет). Тү зудің бойынан | ||||||||||||
| қ алауымызша А жə не В нү ктелерін таң дап аламыз. Кө лденең тү зу салып, оның | ||||||||||||
| бойына А´ 1 В´ 1 кесіндісін | саламыз: А´ 1 В´ 1= | А 1 В 1.Оны l´ | горизонталь | тү зуінің | ||||||||
| жаң а l´ 1 | фронталь | проекциясы | ретінде қ абылдаймыз. А | жə не В | нү ктелерінің |
жаң а горизонталь проекциялары А 2 жə не В 2 нү ктелері арқ ылы ө тетін кө лденең тү зулердің бойында қ алады. Жаң а А´ 1 жə не В´ 1 фронталь проекциялары арқ ылы А´ 2жə не В´ 2горизонталь проекцияларын анық таймыз.
| Егер l тү зуін фронталь еткіміз келсе, оны П 2 | жазық тығ ына қ атысты жазық - | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| параллель ығ ыстыру керек (8.7-сурет). | Бұ л | есепті | шығ ару нə тижесінде | |||||||||||||||||||||||||||||||
| біз l | тү зуінің АВ | кесіндісінің | нақ ты | |||||||||||||||||||||||||||||||
| шамасын | (A ' | B ' | = | = AB) | жə не | |||||||||||||||||||||||||||||
| A | B | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| оның | П 1 | мен П 2 жазық тық тарына | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| кө лбеулік | a | мен b | бұ рыштарын | |||||||||||||||||||||||||||||||
| таптық. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2-есеп. | Дең гейлік | тү зуді | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| проекциялаушы | жағ дайғ а | келтіру. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Егер l ´ (l 1´, l 2´) горизонталь | тү зуі | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| берілсе, | оны | фронталь | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8.6-сурет | проекциялаушы l ´ ´ тү зуіне тү рлендіру | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| жең іл (8.6-сурет). | Ол ү шін | тік тү зу | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| жү ргізіп, | оның | бойына | А 2″ В 2″ | |||||||||||||||||||||||||||||||
| кесіндісін | саламыз: А 2″ В 2″ = | А´ 2 В´ 2. | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| Оны | l 2″ | фронталь | проекциялаушы | |||||||||||||||||||||||||||||||
| тү зуінің | горизонталь | проекциясы | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| ретінде | қ абылдаймыз. | Тү зудің | l 1″ | |||||||||||||||||||||||||||||||
| фронталь | проекциясы | нү ктеге | ||||||||||||||||||||||||||||||||
 
| проекцияланады: А 1″ ≡ В 1″ ≡ l 1″. | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| Фронталь | l | ( | l | 1, | l | 2) | тү зуін | |||||||||||||||||||||||||||
| горизонталь | проекциялаушы | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ың ғ айлы(8.7- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| тү зуіне тү рлендіру | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8.7-сурет | l | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| сурет). Алдымен | тү зудің | жаң а | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| l | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| фронталь проекциясын тік салып, содан соң нү ктеге | проекцияланатын | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| горизонталь проекциясын саламыз. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3-есеп. Жалпыжағ дайдағ ы | жазық тық ты | проекциялаушы | жағ дайғ а | |||||||||||||||||||||||||||||||
| келтіру. Егер a (АВС) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| жазық тығ ын | горизонталь | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| проекциялаушы | жағ дайғ а | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| келтіру керек болса, онда | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| оны | П 1 | жазық тығ ына | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| қ атысты | жазық -параллель | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| ығ ыстыру | қ ажет (8.8- | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| сурет). | Алдымен | a | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| жазық тығ ының f фронталін | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| жү ргізіп, | оны горизонталь | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| проекциялаушы f ´ тү зуіне | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| тү рлендіру | керек. | АВС | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 8.8-сурет | ү шбұ рышының | жаң а | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| А´ 1 В´ 1 С´ 1 | фронталь проекциясын f 1´ | тік орналасатындай | етіп | саламыз, | ||||||||
| мұ ндағ ы D A 1' B 1' C 1' = D A 1 B 1 C 1 | болады. Бір тү зудің бойында табылатын жаң а | |||||||||||
| А 2´, В 2´, С 2´ | горизонталь проекцияларын саламыз. Жаң а a ´ | жағ дайында a | ||||||||||
| жазық тығ ы горизонталь проекциялаушы болды. | Егер | біз | a | жазық тығ ын | ||||||||
| фронталь | проекциялаушы | |||||||||||
| жағ дайғ а | келтіретін | болсақ, | ||||||||||
| оны П 2 жазық тығ ына қ атысты | ||||||||||||
| жазық -параллель | ығ ыстыру | |||||||||||
| керек (8.9-сурет). | ||||||||||||
| 4-есеп. Проекциялаушы | ||||||||||||
| жазық тық ты | дең гейлік | |||||||||||
| жағ дайғ а | келтіру. | Егер | ||||||||||
| горизонталь | проекциялаушы | |||||||||||
| a ´ жазық тығ ы | берілсе, | оны | ||||||||||
| фронталь | П 2 | жағ дайғ а | келтіру | |||||||||
| 8.9-сурет | ү шін | жазық тығ ына | ||||||||||
| қ атысты | жазық -параллель | |||||||||||
| ығ ыстыру | керек (8.8-сурет). | Ол | ү шін | алдымен | кө лденең | тү зу салып, оның | ||||||
| бойына А 2″, | В 2″, С 2″ | нү ктелерін А 2″ В 2″ = | А 2´ В 2´ жə не | В 2″ С 2″ = В 2´ С 2´ | ||||||||
| болатындай | белгілейміз. А´ 1, В´ 1, | С´ 1 | нү ктелері | арқ ылы | кө лденең | тү зулер | ||||||
| жү ргізіп, | ал | А 2″, В 2″, С 2″ нү ктелері арқ ылы тік тү зулер | жү ргіземіз.Аттас | |||||||||
| проекциялары арқ ылы жү ргізілген тү зулердің қ иылысуында жаң а А 1″, В 1″, С 1″ | ||||||||||||
| фронталь | проекцияларын | табамыз.Егер | фронталь | проекциялаушы | a | |||||||
| жазық тығ ы берілсе, оны горизонталь жағ дайғ а келтіру ү шін П 1 жазық тығ ына | ||||||||||||
| қ атысты | жазық -параллель | ығ ыстыру | керек(8.9-сурет). Бұ л | есепті | шығ ару | |||||||
| нə тижесінде | АВС | ү шбұ рышының | нақ ты | шамасын | : анық тай |
D A 1¢ ¢ B 1¢ ¢ C 1¢ ¢ = D A 2 B 2 C 2 = D ABC
Негізгі ə дебиет: 1нег.[27, 60-62], 2нег.[40-56]
Қ осымша ə дебиет: 1қ ос.[20-29].
Бақ ылау сұ рақ тары:
1. Қ андай есептер метрикалық деп аталады?
2. Тік бұ рыштың тік бұ рышты проекциясы туралы теорем тұ жырымдаң ыз.
3. Тү зу мен жазық тық тың перпендикулярлық шартын тұ жырымдаң ыз.
4. Қ ай кезде тік бұ рыш горизонталь проекция жазық тығ ына бұ рмаланбай проекцияланады?
5. Екі жазық тық тың перпендикулярлық шартын тұ жырымдаң ыз.
6. Жазық -параллель ығ ыстыру тə сілінің инварианттарын айтың ыз.
7. Сызбаны тү рлендіру тə сілдерімен шығ арылатын негізгі тө рт есепті атаң ыз.