Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Дəріс. Қисық сызықтар мен беттер.
|
|
Қ исық сызық – нү ктелердің бірпараметрлік жиыны. Сызба геометрияда қ исық сызық кең істікте ү здіксіз қ озғ алатын нү ктенің траекториясы ретінде, сонымен қ атар беттердің қ иылысу сызығ ы ретінде қ арастырылады.
10.1-сурет
Сызық тарды жазық жə не кең істік сызық тары деп екі топқ а бө леді. Барлық нү ктелері бір жазық тық та жататын сызық тарды жазық (эллипс,
парабола, гипербола) деп атайды. Барлық нү ктелері бір жазық тық та жатпайтын сызық тарды кең істік (цилиндрлік, конустық бұ рама сызық тар жə не.) т.б сызық тары деп атайды.Қ исық аналитикалық жолмен, яғ ни алгебралық
(эллипс, парабола, гипербола жə не т.б.) немесе трансценденттік (синусоида жə не т.б.) тең деумен берілуі мү мкін. Кейбір сызық тар тек қ ана графикалық жолмен беріледі, мысалы, топографиялық картадағ ы горизонтальдар.
Алгебралық сызық тың тең деуінің дə режесі қ исық тың ретін анық тайды. Сызбада алгебралық қ исық тың iретоның тү зумен (немесе жазық тық пен кең iстiк қ исығ ы ү шiн) қ иылысу нү ктелерiнiң санымен анық талады.
Қ исық проекцияларының қ асиеттері:
1) жалпы жағ дайда қ исық сызық тың проекциясы қ исық сызық болады;
2) егер нү кте қ исық сызық та жатса, онда оның проекциялары да қ исық сызық тың аттас проекцияларына тиісті болады;
3) қ исық сызық тың жанамасы осы қ исық сызық тың проекциясының жанамасына проекцияланады (егер проекциялау бағ ыты мен жанама параллель болмаса).
Егер нү ктенiң қ озғ алу бағ ыты жə не оның ү стiне жанаманың айналу бағ ыты да ө згермесе, онда оны қ арапайым нү кте деп атайды.
Егер нү ктенiң қ озғ алу бағ ыты немесе жанаманың айналу бағ ыты ө згеретін болса, онда оны ерекше нү кте деп атайды. Оларғ а мынадай нү ктелер жатады
(10.1-сурет):
а) сыну нү ктесі – бұ л нү ктеде қ исық тың екі жанамасы болады жə не бағ ыты «секірмелі» ө згереді;
ə) тораптық нү кте – бұ л нү ктеде қ исық ө зімен-ө зі қ иылысады; б) бұ рылу нү ктесі – бұ л нү ктеде жанаманың бағ ыты ө згереді; в) бірінші реттік қ айту нү ктесі; г) екінші реттік қ айту нү ктесі.
Беттердің жасалуы мен берілуі. Сызба геометрияда беттер кең істіктебелгілі бір заң дылық пен ү здіксіз қ озғ алатын сызық тың орындарының жиыны ретінде қ арастырады. Беттің жасалуының бұ л тə сілін кинематикалық деп
| атайды. Ө зінің | қ озғ алысымен | бетті | ||||
| жасайтын | l | тү зуін | беттің жасаушысы | |||
| деп атайды (10.2-сурет). Жасаушы басқ а | ||||||
| бір қ озғ алмайтын жə не бағ ыттаушы деп | ||||||
| аталатын | m | сызығ ының | бойымен | |||
| қ озғ алуы мү мкін. | ||||||
| Беттi анық тайтын шарттарды беттiң | ||||||
| анық тауышы | деп | атауғ а | келiс.iлген | |||
| Анық тауыш | – | геометриялық | жə не | |||
| 10.2-сурет | ||||||
| алгоритмдiк | деп | аталатын екiбө лiктен | ||||
тұ рады.
Егер кең істіктің кез келген нү ктесінің бетке тиістілігіне қ атысты сұ рақ қ а жауап беруге болса, онда бет берілді деп есептеледі.
Жасаушының айналу осі болып табылатын қ озғ алмайтын тү зуде айналуының нə тижесінде жасалатын бетті айналу беті деп атайды.
| Проекциялық | сызбада | айналу | осін | ||||||
| кө біне | проекция | жазық тығ ына | |||||||
| перпендикуляр | орналастырады. | ||||||||
| Жасаушының | барлық | нү ктелері | |||||||
| шең берлер бойымен қ озғ алады. Бұ л | |||||||||
| шең берлер параллельдер деп аталады. | |||||||||
| Ең ү лкен параллельді экватор деп, ал | |||||||||
| ең кішісін – мойын деп атайды. Егер | |||||||||
| айналу осі вертикаль орналасса, онда | |||||||||
| барлық | параллельдер | горизонталь | |||||||
| проекция | жазық тығ ына | бұ рмалаусыз | |||||||
| нақ ты шамаларына | проекцияланады. | ||||||||
| Айналу | осі | арқ ылы | |||||||
| жазық тық тар | бетті меридиан | деп | |||||||
| аталатын | сызық тар | бойымен иядық. | 10.3 - сурет | ||||||
| ы беттің очеркі деп аталады. | |||||||||
| Проекция | жазық тығ ына | параллель | жазық тық та | орналасқ ан | меридиан | ||||
| басты деп аталады жə не бұ л проекция жазық тығ ындағ ы проекцияс | |||||||||
| 10.4-суретте | айналу | бетінде | бір-ақ | проекциясы | берілген А нү ктесінің | ||||
| жетіспейтін проекциясын табу кө рсетілген. | |||||||||
| Жасаушы | l тү зуін i осінен айналдырғ анда | екінші | |||||||
| реттік сызық тық айналу беті пайда болады: | |||||||||
| егер l Ç i – конустық айналу беті; | |||||||||
| егер l ÷ ÷ i – цилиндрлік айналу беті; | |||||||||
| егер l | i –бірқ уысты айналу гиперболоиды. | ||||||||
| Айналу | бетінің | тү рі жасаушының пішіміне жə не |
оның айналу осіне қ атысты орналасуына байланысты. Симметрия жазық тығ ы бар n – реттік қ исық сызығ ын осы симметрия жазық тығ ында орналасқ ан айналу осінен айналдырғ анда n – реттік айналу беті пайда болады.
| 1. | Сфера.Шең берді диаметрінен айналдыру арқ ылы | ||||
| жасалады. | |||||
| 2. | Айналуэллипсоиды.Бұ ның меридианы эллипс | ||||
| болып табылады. Егер Если эллипс ө зінің ү лкен осінен | |||||
| айналса эллипсоид созылғ ан деп, ал кіші осінен айналса | |||||
| қ ысылғ ан деп аталады. | |||||
| 3. | Айналу | параболоиды. | Меридианы парабола | ||
| 10.4-сурет | болып табылады. | ||||
| 4. | Айналу | гиперболоиды.Беттің | меридианы– | ||
| гипербола. Егер айналу осі гиперболаның | нақ ты осімен | ||||
| сə йкес болса, екі қ уысты | гиперболоид, ал егер | айналу осі | гиперболаның |
жорамал осімен сə йкес болса, бір қ уысты гиперболоид жасалады.
| 5. Алгебралық n -реттік | қ исық | сызық ты | кез | келген | бір | тү зуде |
| айналдырғ анда 2 n -реттік айналу | беті | пайда болады.Мысалы, | тор.Тор | беті |
шең берді центрі арқ ылы ө тпейтін, бірақ шең бер жазық тығ ында орналасқ ан тү зуден айналдыру арқ ылы жасалады.
Тү зудің белгілі бір заң ды қ озғ алысынан пайда болғ ан бетті сызық тық деп атайды. Олар жайылатын жə не жайылмайтын болып екіге бө лінеді. Жайылатын беттер – конустық, цилиндрлік жə не торстық беттер.Кең істік сызығ ына жанамалар жиынынан жасалғ ан бетті торстық немес кері қ айту қ ыры бар бет
| деп атайды. | |||
| Жайылмайтын | беттер – параллелизм | ||
| жазық тығ ы | бар | беттер(Каталан | беттері): |
| цилиндроид, | коноид, | қ иғ аш | жазық тық |
(гиперболалық параболоид) (10.5 - сурет). Сызық тың бұ рама қ озғ алысынан жасалатын
бетті бұ рама бет деп атайды.Егер жасаушы бұ рама қ озғ алыстың осімен қ иылысатын болса,
| бұ рама | бет жабық | деп | аталады, ал | егер | |||||
| қ иылыспайтын | болса – | ашық деп | аталады. Егер | ||||||
| жасаушы тү зу болса бетгеликоид деп аталады. | |||||||||
| 10.5-сурет | Егер | жасаушы | бұ рама | қ озғ алыстың | осіне | ||||
| қ иғ аш деп аталады. | перпендикуляр болса - тік, ал қ иғ аш орналасса – | ||||||||
| 10.6-суретте жабық тік геликоид кө рсетілген. Егер ашық | |||||||||
| геликоидтың жасаушысы белгілі бір цилиндрлік бұ рама | сызық қ а | жанама | |||||||
| қ озғ алса, геликоид бұ рама торс деп немесе эвольвенттік деп аталады, ө йткені | |||||||||
| оның нормаль қ имасы (оське перпендикуляр) шең бердің эвольвентасы болып | |||||||||
| табылады. | |||||||||
| Жасаушының | бағ ыттауыш бойымен параллель | ||||||||
| қ озғ алысынан | параллель | кө шіру | беттері пайда | ||||||
| болады. | |||||||||
| Негізгі ə дебиет: 1нег.[117-162], | 2 нег. [67-93 ] | ||||||||
| Қ осымша ə дебиет: 1қ ос.[57-84]. | |||||||||
| Бақ ылау сұ рақ тары: |
1. 
Қ андай қ исық сызық тар алгебралық деп, немесе трансценденттік деп аталады?
2. Қ исық сызық тың қ андай нү ктелері ерекше деп аталады?
3. Беттің анық тауышы деген не?
4. Айналу беттерінің негізгі қ асиеттерін айтың ыз?
5. Қ андай бұ рама беттер геликоид деп аталады?
6. Бетке тиісті нү ктені немесе сызық ты қ алай салады?
7. Жасаушысы тү зу болатын айналу беттерін атаң ыз.
10.6-сурет