Дії над векторами

Сума векторів. Хай і два довільні вектори. Візьмемо довільну точку О і побудуємо вектор . Від точки А (кінець вектора ) відкладемо вектор . Вектор, який сполучає початок першого вектору з кінцем другого, називається сумою векторів і : (див. рис. 3.1 і рис 32).

Це правило складання векторів називають правилом трикутника.

Рис. 3.1. Складання векторів за правилом трикутників

Суму двох векторів можна побудувати також за правилом паралелограма

Рис. 3.2. Складання векторів за правилом паралелограма.

Різниця векторів. Під різницею векторів і розуміється вектор такий, що (рис. 3.3)

Рис. 3.3. Різниця векторів.

Якщо вектори і задані своїми координатами (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z), то координати суми (різниці) векторів визначаються по формулах

с_x = a_x ± b_x, с_y = a_y ± b_y, с_z= a_z ± b_z. (3.5)

Добутком k вектору на число k називається вектор, колінеарний вектору , модуль його рівний | k || a |, а напрям, співпадає з напрямом при k > 0 і протилежний при k < 0.

В координатній формі, якщо (a_x, a_y, a_z), тоді вектор k -

k =(ka_x, k a_y, k a_z). (3.6)

Проекція вектора на вісь. Проекцією вектора АВ на вісь х називається довжина вектора А₁В₁, узята зі знаком " +", якщо напрям А₁В₁ співпадає з напрямом осі х, зі знаком " -", якщо напрям А₁В₁ протилежний напряму осі х (рис.3.4).

Пр_х АВ = ± | А₁В₁ |. (3.7)

Рис. 3.4. Проекція вектора АВ на вісь х

Скалярний добуток. Скалярним добутком, двох векторів називається добуток їх довжин і косинуса кута між ними.

Скалярний добуток двох векторів а і b позначаємо символом a∙ b. Відповідно до визначення

a ∙ b = | a | | b | cos(a ^ b). (3.8)

Кут між векторами визначається як

cos(a ^ b) = . (3.9)

Звідки витікає, що умова ортогональності двох векторів(а _┴ b)

a ∙ b = 0. (3.10)

Скалярний добуток через координати векторів визначається за формулою

∙ = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z. (3.11)

Проекція вектора (a_x, a_y, a_z) на вектор (b_x, b_y, b_z)

. (3.12)

Векторний добуток. Векторний добуток двох векторів і є вектор , модуль якого дорівнює добутку модулів векторів - співмножників, перпенди-кулярний площині цих векторів і спрямований так, що з його кінця видно поворот від до по найкоротшому шляху, проти ходу годинникової стрілки.

= , (3.13)

Тобто вектор задовольняє наступним умовам

1. | | = | | = | | | | sin( ^ );

2. _┴ , _┴ ;

3.

Рис. 3.5. Векторний добуток [ ].

Умова паралельності. Якщо вектори і колінеарні ( || ), то їх векторний добуток дорівнює нулю

[ ] = 0. (3.14)

Векторний добуток через координати векторів визначається за формулою

= . (3.15)

Мішаний добуток. Скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і називається мішаним добутком векторів , і . Таким чином, мішаний добуток векторів є вираз

∙ ( ) (3.16)

і є скаляр (число).

Якщо вектори задані своїми координатами в деякій декартовій прямокутній системі координат (a_x, a_y, a_z), (b_x, b_y, b_z), (c_x, c_y, c_z), тому

вектор

∙ ( ) = . (3.17)

Якщо три вектори , і компланарні (знаходяться в однієї площині), то їх мішаний добуток дорівнює нулю

∙ ( ) = 0 (3.18)