Приклади. 1). Дано три послідовні вершини паралелограма:

1). Дано три послідовні вершини паралелограма:

. Знайти його четверту вершину.

Нехай шукана вершина має координати . З умови колінеарності векторів і маємо: , або . Згідно з властивостями паралелограма або . Отже

.

2). Знайти площу паралелограма, діагоналями якого є вектори і

, де і — одиничні вектори, а кут між ними дорівнює 45°.

Позначимо через сторони паралелограма, тоді , звідки . Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку .
Отже, .

3). Знайти площу і висоту трикутника, вершинами якого є:

.

Знайдемо вектори і . Модуль їх векторного

добутку буде дорівнювати подвоєній площі трикутника: звідки .

Знайдемо висоту трикутника: .

4). Дано вершини трикутника А (− 1, − 2, 4); В (− 4, − 2, 0); С (3, − 2, 1).

Визначити його внутрішній кут φ при вершині B.

Знайдемо вектори BA = (3, 0, 4), BC = (7, 0, 1) та їх довжини:

BA = = 5, BC = = .

За формулою (3.9) обчислимо косинус кута φ між векторами

cos(a ^ b) = = ,

отже φ = 45⁰.

5). Дано три вектори =(1, − 3, 4), =(3, − 4, 2), = (− 1, 1, 4).

Знайти

Введемо вектор = = (2, − 3, 6), та обчислимо його довжину

| d |= = 7

За формулою (3.12) знайдемо проекцію вектора на вектор

.