Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Приклади
|
|
1). Знайти кут між площиною 3x − 2 y + z + 4 = 0 і прямою 
.
Розв’язування. Рівняння прямої приведено до канонічного вигляду. Із першого рівняння знаходимо 
, а з другого рівняння 
, значить канонічний вид рівняння прямої буде 
. Таким чином, направляючий вектор прямої 
= (1; 2; 3), а нормальний вектор площини 
= (A, B, C) = (3, -2, 1).
Тепер за формулою (3.32) знаходимо синус кута між прямою і площиною
.
2). Записати рівняння площини, що проходить через точки M1 (8; 3; 1)і
M2 (4; 7; 2)і перпендикулярна до площини 3x + 5 y − 7z + 21 = 0.
Розв’язування. Тому що площина проходить через точку М1 (8; 3; 1), то її
rоординати задовольняють рівняння (3.20), тобто
A(x − 8) + B(y + 3) + C(z − 1) = 0. (*)
Аналогічно, площина проходить і через точку M2 (4; 7; 2), то
її координати задовольняють рівнянню (2.79), тобто
A(4 − 8) + B(7 + 3) + C(2 − 1) = 0.
Використаємо умову перпендикулярності (3.25) для площини
(*) і заданої площини 3x + 5y -7z + 21= 0, тобто 3A + 5B - 7C = 0. Для
Знаходження А, В, С маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими, а
саме 
. З даної системи знаходимо A і B через C, тобто
, і підставляємо одержані значення в рівняння (*):
. Зробивши спрощення в останньому рівнянні, одержуємо шукане рівняння площини 3x + y + 2z – 23 = 0.
3). Знайти довжину бісектриси АЕ і площу трикутника АВС, якщо
і 
.
Знайдемо площу трикутника. S = 
кв. од. Використовуючи властивість бісектриси 
, знайдемо відношення l, у якому точка Е поділяє відрізок СВ; 
. Знайдемо координати точки 
: 
.
Отже, 
.
4). Скласти рівняння бісектрис кутів, утворених двома прямими
і 
.
Бісектриса є множиною точок, рівновіддалених від сторін кута. Нехай
— одна з точок цієї множини. Тоді, прирівнюючи відстані від цієї
точки до прямих, маємо:
.
З останнього рівняння маємо рівняння двох бісектрис у вигляді:
і 
. Слід зазначити, що бісектриси взаємно перпендикулярні: 
.
5). Дано трикутник 
. Знайти відстань від вершини В
до медіани, що проходить через точку А. Знайдемо координати основи медіани: 
. Запишемо рівняння медіани як прямої, що проходить через дві задані точки: 
, або 
.
Відстань від точки 
до медіани знайдемо за формулою:
.