Графіки функцій двох змінних

Для побудови графіків поверхонь і кривих в просторі призначена функція plot3d. Функція plot3d має два варіанти виклику: один для явного завдання функції і один для параметричного. У обох випадках функція приймає три аргументи.

Синтаксис для явно заданої функції:

plot3d(вираз, [змінна1, початок, кінець], [змінна2, почоток, кінець]);

- тут аргументи аналогічні plot2d, з тією різницею, що тут незалежних змінних дві.

Графік параметрично заданої функції будується так:

plot3d([вираз1, вираз2, вираз3], [змінна1, початок, кінець], [змінна2, початок, кінець]);

- тут вирази відповідають, по порядку, x(u, v), y(u, v), z(u, v).

Для побудови 3D графіка функції в сферичній системі координат використовується функція

spherical(radius, azi, minazi, maxazi, zen, minzen, maxzen)

де функція radius(azi, zen) задається в сферичних координатах.

Для побудови 3D графіка функції в циліндричній системі координат використовується функція

cylindrical(radius, z, minz, maxz, azi, minazi, maxazi)

де функція radius(z, azi) задається в циліндричних координатах.

Приклад 1. Побудувати графік поверхні z = 2x² + 5y² (еліптичний

параболоїд). Після натиснення клавіш Shift+Enter або F5 формується осередок введення, в якому вводимо команду plot3d(2*x^2-5*y^2, [x, -5, 5], [y, -5, 5])

(%i18) plot3d(2*x^2+5*y^2, [x, -5, 5], [y, -5, 5]);

відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції:

Аналогічним чином будуємо графік гіперболічного параболоїда z = 4x² - y²

(%i19) plot3d(4*x^2-y^2, [x, -5, 5], [y, -5, 5]);

Приклад 2. Побудувати графік поверхні еліптичного циліндра

Задамо рівняння еліптичного циліндра в параметричній формі:

Після натиснення клавіш Shift+Enter формується осередок введення, в якому вводимо команду

(%i2) plot3d([3*cos(t), 2*sin(t), v], [t, -%pi, %pi], [v, 0, 10]);

відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції:

Аналогічним чином будуємо графік гіперболічного циліндра

Задамо рівняння гіперболічного циліндра в параметричній формі.

В осередок введення вводимо команду plot3d([3*cosh(t), 2*sinh(t), v], [t, -2, 2], [v, 0, 10]);

(%i7) plot3d([3*cosh(t), 2*sinh(t), v], [t, -2, 2], [v, 0, 10]);

Графік гіперболічного циліндра має вигляд

Приклад 3. Побудувати графік поверхні тривісного еліпсоїда .

Задамо рівняння тривісного еліпсоїда в параметричній формі.

Після натиснення клавіш Shift+Enter формується осередок введення, в якому вводимо команду plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)], [u, -%pi, %pi], [v, -%pi, %pi]);

(%i8) plot3d([3*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v), sqrt(5)*sin(u)], [u, -%pi, %pi], [v, -%pi, %pi]);

відкривається вікно програми Gnuplot graph з графіком функції:

Аналогічним чином будуємо графік однополоого гіперболоїда

Задамо рівняння однополого гіперболоїда в параметричній формі.

В осередок введення вводимо команду plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)], [u, -%pi, %pi], [v, -%pi, %pi]);

(%i9) plot3d([sqrt(2)*cos(u)*cosh(v), 3*sin(u)*cosh(v), sqrt(3)*sinh(v)], [u, -%pi, %pi],

[v, -%pi, %pi]);

Графік однополого гіперболоїда має вигляд

Аналогічним чином будуємо графік двуполого гіперболоїда

Задамо рівняння двуполого гіперболоїда в параметричній формі

В осередок введення вводимо команду plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)], [u, -%pi, %pi], [v, -%pi, %pi]);

(%i12) plot3d([2*cos(u)*sinh(v), sqrt(5)*sin(u)*sinh(v), sqrt(6)*cosh(v)], [u, -%pi, %pi],

[v, -%pi, %pi]);

Графік двуполого гіперболоїда має вигляд