Нормована ВВ

Якщо ВВ Х має математичне сподівання і дисперсію , то нормованою ВВ, яка відповідає Х, називають ВВ, яка отримана перетворенням за формулою

. (2.2.22)

Перетворення ВВ Х за допомогою формули (16) називається нормуванням величини.

Нормована ВВ Х_н має наступні властивості:

1. Закон розподілу ВВ Х_н відповідає з закону розподілу ВВ Х.

2. Математичне сподівання нормованої ВВ Х_н дорівнює нулю

(2.2.23)

3. Дисперсія нормованої ВВ Х_н дорівнює одиниці:

(2.2.24)

4. Середнє квадратичне відхилення нормованої ВВ Х дорівнює одиниці

(2.2.25)

Висновок: У матеріалі питання розглянуті поняття генеральної сукупності, вибірки, центрованої та нормованої ВВ.

Усі ці визначення й поняття будуть використані в матеріалах подальших занять.

2.2.3. Поняття про моменти випадкових величин

У теорії ймовірностей для описання основних властивостей розподілу випадкової величини широко використовуються введені математиком П.Л. Чебишевим, т.з. моменти випадкової величини.

На практиці застосовують початкові, центральні й змішані моменти різних порядків ВВ Х.

Початковим моментом S-того порядку випадкової величини називається математичне сподівання S-ого ступеня цієї випадкової величини:

(2.2.26)

Для дискретної ВВ початковий момент визначається як сума:

(2.2.27)

для безперервної - інтегралом

(2.2.28)

Центральним моментом S-того порядку випадкової величини X називається математичне сподівання S-го ступеня відповідної центрованої випадкової величини :

(2.2.29)

Для дискретної ВВ S-й центральний момент визначається сумою:

(2.2.30)

а для неперервної — інтегралом

(2.2.31)

Змішаним початковим моментом -го порядку випадкових величин X і Y називається математичне сподівання величини :

(2.2.32)

Змішаним центральним моментом порядку випадкових величин X і Y називається математичне сподівання величини :

. (2.2.33)

Висновок: При вивченні даного питання розглянуті такі поняття як функція й щільність розподілу випадкових величин і їх основні властивості. Розглянуті поняття генеральної сукупності, вибірки, моментів випадкових величин.

2.3. Математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення випадкової величини та їх властивості

Закон розподілу ВВ повністю описує її з імовірнісної точки зору. Знаючи закон розподілу ВВ, можна визначити ймовірність появи ВВ у тому або іншому інтервалі. Однак для достатньо точного встановлення закону розподілу ВВ необхідно мати значний статистичний матеріал, для отримання якого, як правило, необхідно подолати деякі труднощі. Для вирішення багатьох практичних задач можна обійтись без визначення закону розподілу ВВ.

Числові параметри, які в стислій формі виражають найбільш суттєві сторони розподілу ВВ, називаються числовими параметрами випадкової величини.

До числових характеристик належать:

числові характеристики положення, які характеризують положення середнього значення випадкової величини на числовій вісі.

числові характеристики групування, які описують характер групування випадкової величини навколо її середнього значення.

У метрології найбільш широкого застосування набули числові характеристики групування: дисперсія, середнє квадратичне відхилення, кореляційний момент і коефіцієнт кореляції (тобто характеристики ступеню зв’язку випадкових величин між собою).

Математичним сподіванням дискретної ВВ X називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини на імовірності цих значень

(2.3.1)

Математичним сподіванням неперервної ВВ X називається інтеграл від добутку її значень x на щільність розподілу ймовірностей :

(2.3.2)

Основні властивості МС:

1. Якщо можливі значення ВВ числа іменовані, то її математичне сподівання — число іменоване тієї ж розмірності.

2. Математичне сподівання невипадкової (постійної) величини С дорівнює самій величині С:

(2.3.3)

3. Математичне сподівання добутку ВВ на невипадкову (постійну) величину С дорівнює добутку цієї невипадкової величини на математичне сподівання ВВ X:

(2.3.4)

4. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань:

(2.3.6)

5. Математичне сподівання добутку незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:

(2.3.5)

6. Якщо в незалежних випробуваннях у результаті спостережень маємо можливі значення ВВ X, то їх середнє арифметичне обчислюється:

(2.3.7)

При необмеженому зростанні числа випробувань n, середнє арифметичне сходиться по ймовірності до математичного сподівання. Тобто, середнє арифметичне — це статистичний аналог математичного сподівання.