Розподіл Стьюдента

Нехай Х₁, Х₂,..., Х_і,..., Х_н– результати прямих незалежних спостережень деякої постійної невипадкової величини а. Ці результати є реалізаціями випадкової величини Х, підпорядкованої нормальному розподілу з дисперсією D_x.

Як результат виміру приймається середнє арифметичне

, (2.4.8)

яке є оцінкою величини а. Оцінка , через обмежену кількість спостережень (n< ¥), є величиною випадковою з дисперсією, яка дорівнює:

. (2.4.9)

Оцінка середнього квадратичного відхилення дорівнює:

. (2.4.10)

Випадкова величина Т, що визначається виразом

, (2.4.11)

буде підпорядкована закону розподілу Стьюдента з к=n-1 ступенем вільності. Щільність розподілу ймовірності цього закону визначається виразом:

, (2.4.12)

де - гама-функція. (2.4.13)

Щільність розподілу Стьюдента залежить від обсягу вибірки (числа спостережень). Криві розподілу для різних значень к=n-1 наведені на рис.2

Рис.2

Математичне очікування, дисперсія і середнє квадратичне відхилення розподілу Стьюдента відповідно дорівнюють:

M[Т]=mt=0 (K> 1)

D[T]=Dt= (K> 2) (2.4.14)

(К> 2).

Із збільшенням К (практично при n ³ 30) розподіл Стьюдента асимптотично наближається до нормального розподілу з параметрами m_t=0, σ _t=1.

Розподіл Стьюдента широко застосовується при визначенні довірчих меж похибки вимірювань (у тих самих випадках, що й нормальний розподіл) при малій кількості вимірювань.