Трикутний розподіл

Якщо кожна з двох незалежних ВВ Y i Z підпорядковуються закону рівномірної щільності ймовірності, то їх сума Х=Y+Z буде розподілена за трикутним законом (рис 5).

Рис.5

Щільність імовірності трикутного розподілу визначається виразом:

. (2.4.19)

Функція розподілу визначається виразом:

. (2.4.20)

Відповідно математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення рівні:

M[X]=0, D[X]= , σ _х= . (2.4.21)

Трикутному розподілу підпорядковуються:

a) похибки вимірювання фізичних величин, значення яких визначаються як різниця (сума) двох округлених підрахунків;

b) похибки дискретності цифрових вимірювальних пристроїв і цифро-аналогових перетворювачів, у яких початок такту вимірювань не співпадає з імпульсами квантування;

c) нестабільність напруги мережі всередині заданих меж відхилення від номінального значення.

У метрології для визначення довірчих меж середнього квадратичного відхилення й дисперсії, встановлення факту існування систематичних похибок у сумісних вимірах та ін. використовується розподіл c² (хі - квадрат).

Криві щільності розподілу при різних значеннях коефіцієнта К зображені на рис 6.

Рис.6

Розподілу арксинуса підпорядковані: похибки синусоїдального сигналу із випадковою фазою, розподілу за рівномірним законом; похибки вимірювань потужності, зумовлені неузгодженням генератора з навантаженням; похибки деяких вимірювань у довгих лініях.

Висновок: Таким чином, можна відмітити, що ми розглянули найбільш широко розповсюджені в метрології закони розподілу випадкової величини. Це нормальний закон розподілу випадкової величини, розподіл Стьюдента, рівномірний розподіл, трикутний розподіл, а також коротко c² і розподіл арксинуса.

2.4.1. Композиція законів розподілу

Закон розподілу суми n незалежних ВВ Х₁,..., Х_n називається композицією законів розподілу доданків. Композиція двох законів розподілу сама по собі закон розподілу суми двох незалежних ВВ, підпорядкованих цим законам розподіл.

Композиція законів розподілу знаходиться за допомогою операції, яку називають згорткою й позначається символом *. Для двох неперервних незалежних випадкових величин X, Y і для суми Z=X+Y, щільність імовірності яких f_x(x), f_y(y), f_z(z), операція згортки має вигляд:

. (2.4.22)

Для декількох випадкових величин композиція законів розподілу є повтором операції згортки.

Якщо n незалежних випадкових величин Х₁, Х₂,..., Х_n підпорядковані нормальним законам з математичним очікуванням і середнім квадратичним відхиленням , то сума цих випадкових величин

також підкоряється нормальному закону з параметрами:

(2.4.23)

Тоді щільність розподілу ВВ Z буде мати вигляд:

(2.4.24)

Висновок: У матеріалі були розглянуті поняття композиції двох або декількох законів розподілу, їх математичний запис, а також практичне застосування даних розподілів.

2.4.2. Стандартні апроксимації законів розподілу

Закони розподілу ВВ на практиці лише в тому чи іншому ступені наближаються до теоретичних, які були розглянуті вище. Використання реальних законів розподілу ВВ, наприклад, у практиці вимірювань, значно б ускладнило оцінку точності вимірювань. Тому частіше зустрічаються в вимірювальній практиці закони розподілу випадкових величин, стандартизовані й регламентовані у вигляді стандартних апроксимацій, які використовуються замість експериментальних законів.

Стандартні апроксимації щільності ймовірності встановлені міждержавним стандартом ГОСТ 8.011-72 і наведені в таблиці 1.

Назва функції	Скорочене позначення	Графік	К=
Нормальна (обрізана)	норм.		3, 0
Рівномірна	рівн.		1, 7
Трикутна (Сімпсона)			2, 4
Трапецевидна	трап.		2, 3
Антимодальна - 1	ан.1		1, 4
Антимодальна - 2	ан.2		1, 2
Релея	–		3, 3

2.5. Елементи математичної статистики

2.5.1. Оцінки. Властивості оцінок. Точкові і інтервальні оцінки

Усі дослідження випадкових явищ, які виконані методом імовірності, прямо або опосередковано спираються на експериментальні дані. Обробка статистичних даних із метою отримання найбільш точного наближеного значення величини, яка підлягає дослідженню, складає предмет математичної статистики. Математична статистика вивчає математичні методи систематизації й обробки результатів спостережень масових випадкових явищ із метою отримання необхідних для практики даних.

Нехай у результаті n спостережень величини а отриманий ряд можливих значень:

Х₁, Х₂,..., Х_і,..., Х_n (2.5.1)

Ряд (1) - це вибірка n, відібрана навмання з генеральної сукупності; n елементів вибірки створюють емпіричний розподіл. Шляхом обробки елементів вибірки можна обчислити статистичні характеристики емпіричного розподілу.

У силу випадковості вибірки й обмеженості її обсягу статистичні характеристики є випадковими величинами та відрізняються від числових характеристик теоретичного розподілу, якому підлягає генеральна сукупність.

Тому числові значення статистичних характеристик можуть бути визначені тільки приблизно.