Розподіл дискретних величин

Для повної характеристики дискретної випадкової величини необхідно та достатньо знати можливі її значення й імовірність кожного з цих значень. У наведеному вище прикладі з гральною костю число очок, які випадають при киданні, є дискретною випадковою величиною. Нижче вказано розподіл цієї величини [34]:

число очок імовірність

0. 0

1. 1/6

2. 1/6

3. 1/6

4. 1/6

5. 1/6

6. 1/6

7. 0

При киданні двох гральних костей одночасно сума очок може приймати значення від 2 до 12. Імовірність значень суми буде різна. Наприклад, сума 2 може бути отримана лише при одній комбінації, 3 – при двох (1+2, 2+1), 4 – при трьох (1+3, 2+2, 3+1) і т.д. - число всіх можливих комбінацій дорівнює 36.

У загальному випадку, якщо розташувати можливі значення дискретної випадкової величини в порядку зростання і позначити їх через Х₁, Х₂,..., Х_п, а відповідні імовірності – р₁, р₂,..., р_п, отримаєм значення, які показані в табл. 1.

Табл. 1.

Така таблиця, якщо вона охоплює всі можливі значення дискретної випадкової величини, дає закон розподілу останньої. Таблиця 1 називається рядом розподілу який можна зобразити у вигляді графіка. Припустимо, що інтервали між сусідніми значеннями Х або Х₁–Х₂, Х₂–Х₃,...Х_n-1–Х_n, рівні між собою. Приймемо значення цього інтервалу за 1 і відкладемо значення Х_і на вісі абсцис (рис. 1), а по вісі ординат відповідне значення ймовірності р_і.

Рис.1. Графік розподілу дискретної випадкової величини

Сума всіх ординат дорівнює 1.

Розглянемо приклад: проведено n = 15 вимірювань ємності конденсатора. Результати спостережень зведені в таблицю 2. Визначити довірчі межі похибки результату вимірювання ємності конденсатора.

Табл. 2.

1. Визначимо середнє арифметичне:

. (2.6.1)

2. Визначимо випадкові відхилення результатів спостережень та їх квадратів:

3. Визначення оцінки середньо квадратичного відхилення результатів спостереження:

(2.6.2)

де (2.6.3)

4. Визначення середньоквадратичного відхилення результату вимірювання:

5. Задамося довірчою ймовірністю P=0.95, із таблиці 3 для n=15 знаходимо коефіцієнт Стьюдента t_s=2.14.

Значення коефіцієнтів Стьюдента Таблиця 3

Розрахуємо значення довірчої похибки:

(2.6.5)

5. Записуємо результат вимірювання у відповідності з ГОСТ8.010-72:

С=(799±3)пФ, Р=0.95. (2.6.6)

Таким чином істинне значення ємності конденсатора з імовірністю Р=0, 95 знаходиться в інтервалі від 796 до 802 пФ.

Висновок: Таким чином, ми розглянули порядок знаходження числових характеристик для дискретних випадкових величин на прикладі вимірювання ємності конденсатора.

2.6.2. Визначення числових характеристик неперервних

випадкових величин

При розгляді нормального закону розподілу було відмічено, що ймовірність появи похибки не перевищує ±s

Рис.2 Крива нормального розподілу випадкових похибок і середнє квадратичне відхилення ±s

Якщо як s взяти деяке число, а імовірність Р=0.6826, то в цьому випадку +s і –s будемо розглядати як межі інтервалу, у межах якого з ймовірністю 0.6826 лежать значення випадкових похибок.

Заданими можуть бути будь-які межі інтервалу, і звідси необхідно визначити відповідну їм імовірність. Може вирішуватись і зворотна задача: за відповідною імовірністю визначити межі інтервалів.

Імовірність попадання випадкової похибки в симетричний інтервал, який називається довірчим інтервалом з границями +e і –e, описується співвідношенням:

Р{-e< d< +e}=Ф(t). (2.6.7)

Функція Ф(t)називається інтегралом імовірності або інтегралом Лапласа. Ця функція має властивість

Ф(-t)=-Ф(t), де: e=ts, (2.6.8)

В усіх довідниках цей інтеграл знаходиться за допомогою таблиці.

(Таблиця 4)

Імовірність того, що випадкова похибка виявиться за межами інтервалу ±e, буде дорівнювати

Р{÷ δ ê > ε }=1–Ф(t). (2.6.9)

Величина

Ф(t)=Ф(e/s), (2.6.10)

яка відповідає даному довірчому інтервалу ±e, називається довірчою імовірністю, а значення 1-Ф(t) – рівнем значимості. Значення 1–Ф(t) і Ф(t) приведені в таблиці 5.

Таблиця 5

На практиці довірчу ймовірність вибирають у залежності від конкретних умов. Наприклад, при виготовленні однакових деталей можна вважати цілком задовільним значення 0, 995 для ймовірності того, що відхилення розміру не вийде за межі визначеного інтервалу. У технічній практиці ймовірність часто виражають в процентах або для даного випадку її приймають рівною 99, 5%. Рівень значимості або ймовірність того, що розміри деталі не будуть задовольняти необхідним вимогам, складе 0, 005%. Це значить, що в середньому бракуватись буде одна деталь із 200. Така ймовірність відповідає довірчому інтервалу від -2, 81s до +2, 81s.

Часто користуються довірчим інтервалом від -3s до +3s, для якого довірча ймовірність складає 0, 9973 або 99, 73%. Якщо при виготовленні деталі прийнято, що допустиме відхилення від номінального її розміру до ±3s, то в середньому одна бракована буде на 370 виготовлених деталей.

У ряді випадків, коли поява похибки, яка виходить за межі довірчого інтервалу, може нанести значний збиток, як довірчий інтервал приймають ±4s. У цьому випадку довірча ймовірність складає 0, 999936, а рівень значимості - 0, 000064 або 0, 0064%. Похибка, яка виходить за межі довірчого інтервалу ±4s, з’являється в середньому один раз на кожні 15600 вимірювань.

Розглянемо наступні приклади:

Приклад 1. Для даного методу вимірювань середнє квадратичне відхилення дорівнює 0, 2% (s=0, 002). Визначити ймовірність того, що випадкова похибка вимірювання буде лежати в межах довірчого інтервалу з межами: а) ±0, 5%; б)±0, 6%.

а) Межі інтервалу e=±0, 005

За таблицею 4 знаходимо довірчу імовірність Ф(t), яка відповідає t=2, 5. Вона дорівнює 0, 9876. Рівень значимості 0, 0124, або 1, 24%.

Отже, можна очікувати, що похибка, яка перевищує 0, 5%, буде виникати в середньому один раз на кожне 81 вимірювання (1: 0, 0124»80, 6»81):

б) e=±0, 006

Ф(t)=0, 9973

1–Ф(t)= 0, 0127, або 1, 27%. 1: 0, 0124»37, 8»38.

Помилка, яка перевищує 0, 6%, буде виникати в середньому один раз на кожні 38 вимірювань.

Приклад 2. Необхідно визначити, яке значення може досягти випадкова похибка d_m одиничного вимірювання, якщо відомо, що для кожного методу вимірювання s=0, 01, а похибки перевищують значення d_m в середньому в одному випадку з 100 вимірювань?

Мовою теорії ймовірності цю задачу можна викласти наступним чином. Визначити межі довірчого інтервалу при s=0, 01, якщо задана довірча ймовірність 0, 99 (рівень значимості 1%).

Знаходимо за таблицею 5 для Ф(t)=0, 99 значення t=2, 576; ±e=±2, 576× 0, 01=±0, 02576»0, 026 або ±2, 6% вимірюваної величини.

Висновок: Вище були розглянуті приклади визначення числових характеристик дискретних і неперервних випадкових величин.

Розглянуті приклади визначення ймовірності попадання випадкової похибки в довірчий інтервал, визначення границь довірчого інтервалу.

3. Теоретичні основи метрологічного забезпечення

3.1. Основні поняття про вимірювання і величини

Одиниці величин почали з’являтись з того часу, коли у людей виникла необхідність виражати будь-що кількісно. Цим «будь-що» могло бути число предметів. У цьому випадку вимірювання було дуже простим, оскільки полягало в підрахунку кількості (числа) предметів, а одиницею був один предмет або одна штука. Але далі задача ускладнювалася, тому що виникла необхідність визначати кількість таких об’єктів, які не піддавались поштучному підрахунку – рідин, сипучих тіл тощо. З’явились міри об’єму. Ці міри були одночасно й одиницями об’єму при вимірюваннях. Необхідність вимірювання довжини викликала появу мір довжини.

Першими мірами довжини були частини тіла людини: ступня, лікоть, а також крок тощо. Ці міри були одночасно й одиницями довжини. Масу речовини визначали за її вагою. Різниця між вагою і масою була встановлена тоді, коли визначили, що в різних точках земної кулі вага однієї й тієї ж маси неоднакова та залежить від сили земного тяжіння. Однак звичка ототожнювати масу й вагу, називати масу вагою залишилась і до цього часу і є причиною багатьох непорозумінь і помилок.

Поняття вимірювання та величина належать до числа основних понять науки й техніки. Вимірювання фізичних величин – одне із важливих шляхів пізнання природи людиною. Вимірювання поєднують теорію з практичною діяльністю.

Прийнято розрізняти два основні напрямки в теорії вимірювань: математичний і фізичний.

Математична теорія вимірювань виявляє найбільш загальні властивості та закономірності. Її основною задачею є вивчення процесу порівняння величини з мірою. За допомогою цього порівняння отримують числові значення результату вимірювання.

Фізична теорія вимірювань вивчає вимірювання з точки зору практичних (прикладних) задач. Основними з цих задач є: фізична взаємодія вимірювального приладу з об’єктом вимірювання та забезпечення єдності вимірювань. Основна відмінність між математичною й фізичною теоріями вимірювань полягає в їх відношенні до похибки вимірювань.

Вихідним положенням фізичної теорії вимірювань є визнання неминучості похибки вимірювань. Це підтверджує те положення, що сучасна фізика встановлює факт існування деякої межі визначеності фізичної величини. Це відрізняє поняття " ВЕЛИЧИНА " у фізиці від поняття «ВЕЛИЧИНА» у математиці.

Математична теорія вимірювань виходить із можливості абсолютно точного порівняння двох розмірів величин, тобто існування лише одного розв’язку q основного рівняння вимірювання:

Q = q[Q], (3.1.1)

де: Q – вимірювана величина;

q – числове значення;

[Q] – одиниця фізичної величини.

При цьому вимірювання розглядається як процес, який завершується за нескінченно великий час.

Фізична теорія виходить із положення про обмеженість часу вимірювання, наявності неусуненої похибки вимірювання та неможливості визначення розміру будь-якої величини з абсолютною точністю.

Висновок: Таким чином розглянуті загальні дані про вимірювання й величини. Результати вимірювань із використанням технічних засобів відображаються в одиницях фізичних величин.

3.2. Фізичні величини. Одиниці фізичних величин

Об’єктами вимірювань є фізичні величини. Будь-яке вимірювання пов’язане з визначенням кількісного значення фізичної величини. Поняття фізичних величин, наприклад, сили електричного струму, довжини, маси тощо, - це відображення притаманних матеріальним об’єктам властивостей (рух електронів, інерційність та ін.)

Фізичні величини, які характеризують даний об’єкт, не створюються вимірюваннями, а тільки визначаються за допомогою вимірювань.

Фізична величина - це властивість, спільна в якісному відношенні для багатьох матеріальних об’єктів та індивідуальна в кількісному відношенні у кожного з них (ДСТУ 2681-94). Так усі тіла мають масу, температуру, але для кожного з них ці параметри різні. Те саме можна сказати й про інші величини - електричний струм, в’язкість рідин, потік випромінювання та ін.

Якісно загальними можуть бути й різні за назвою (різнойменні) фізичні величини, наприклад: довжина, ширина, висота, глибина, відстань, дистанція або електрорушійна сила, електрична напруга, електричний потенціал; або робота, енергія, кількість тепла. Про такі фізичні величини говорять, що вони одного роду або однорідні.

Фізичні величини, які не є однорідними, називають різнорідними або неоднорідними.

Розміри будь-яких однорідних фізичних величин або два розміри однієї й тієї ж фізичної величини можна порівняти між собою. Іншими словами, знайти в скільки разів один розмір більший (або менший) за інший.

Розмір величини існує об’єктивно, незалежно від того знаємо ми його чи ні, можемо його виміряти або не можемо.

Метою вимірювання є визначення розміру величини. Результат вимірювання при цьому повинен виражатись числом. Один і той же розмір величини може мати різні числові вирази. Наприклад, потужність двигуна складає 10 к. с. (л. с.), але та ж сама потужність може бути виражена як 7355 Вт.

Таким чином, розмір А фізичної величини є добутоком деякого числа q (цілого або дробового) на значення а однойменної величини, розмір якої прийнятий за одиницю:

А = q а (3.2.1)

Розміри фізичних величин знаходять частіше за все шляхом порівняння їх з мірою. Знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів називається вимірюванням. У результаті вимірювання знаходять значення фізичної величини й оцінюють близькість його (цього значення) до істинного значення фізичної величини.

Істинним значенням фізичної величини називається таке значення фізичної величини, яке ідеально відображало б певну властивість об’єкта (ДСТУ 2681-94).

Однак через обмеженість часу вимірювань, недосконалість вимірювальних приладів і методів вимірювань, наявність суб’єктивних (особистих) помилок спостерігача отримати в процесі вимірювання істинне значення фізичної величини неможливо. Як би ретельно не здійснювалось вимірювання, у результаті можна отримати лише приблизне значення фізичної величини. Тому на практиці, замість істинного значення фізичної величини, використовують дійсне значення фізичної величини.

Дійсне значення фізичної величини (умовно істинне значення фізичної величини) ДСТУ 2681-94 - це значення фізичної величини, знайдене експериментальним шляхом і настільки наближене до істинного значення, що його можна використати, замість істинного, для даної мети.