Точкові оцінки

Приблизне значення оцінюваної величини , яке приймається замість істинного значення цієї величини а, називається оцінкою.

Оцінку прийнято позначати тією ж самою літерою, що й оцінювану величину, але з хвилястою рискою над нею.

Так як оцінка обчислюється за елементами вибірки (1), то оцінка є функцією величини Х₁, Х₂,..., Х_і,..., Х_n.

Слід розуміти, що сама оцінка є випадковою величиною. Для повної характеристики необхідно знати закон її розподілу. Деякі поняття про якість оцінки можна отримати, якщо досліджувати її властивості, які визначають здатність оцінки для описання самої випадкової величини. Найбільш важливими з цих властивостей є:

а) умотивованість;

б) ефективність.

1. Оцінка параметра називається спроможною, якщо при збільшенні обсягу вибірки n вона сходиться за імовірністю до очікуваного параметра а, якщо при будь-якому e> 0 виконується умова

(2.5.2)

Розглянемо декілька визначень оцінок.

2. Дисперсія спроможної оцінки при n®¥ прямує до нуля. Спроможну оцінку можна прийняти за приблизне значення параметра, але при умові, що n велике.

3. Оцінка називається незміщеною, якщо математичне сподівання оцінки дорівнює очікуваному параметру незалежно від числа спостережень, якщо при будь-якому n виконується умова:

M[ ]= a. (2.5.3)

4. Якщо рівність (3) виконується при n®¥, то оцінку називають асимптотично незміщеною.

5.Якщо існує ряд незміщених оцінок, то найкращою вважають ту, у якої найменша дисперсія. Незміщена оцінка, яка має найменшу дисперсію, називається ефективною:

D[ ]= min D[ a ] (2.5.4)

5. Якщо умова (4) виконується при n®¥, то оцінка називається асимптотично ефективною.

6. Середнє арифметичне

(2.5.5)

є спроможною і незміщеною оцінкою математичного сподівання. Якщо випадкова величина Х підлягає нормальному закону, то є також ефективною оцінкою.

Оцінка дисперсії:

(2.5.6)

є спроможною й незміщеною, але не ефективною. Якщо випадкова величина Х розподілена згідно з нормальним законом, то оцінка дисперсії є асимптотично ефективною.

Якщо оцінка дисперсії спроможна, то й оцінка середнього квадратичного відхилення є спроможною. Однак оскільки співвідношення між і нелінійне, то оцінка не є незміщеною, а буде асимптотично незміщеною оцінкою. Для усунення зміщення оцінки середнього квадратичного відхилення нормально розподіленої величини необхідно ввести коригуючий множник (див. таблицю 1).

, де к = n –1 (2.5.7)

У цьому випадку незміщена оцінка середнього квадратичного відхилення S визначається виразом:

. (2.5.8)

Розглянуті вище оцінки , , :

- приблизне значення,

- оцінка середньоквадратичного відхилення,

- середнє арифметичне, які виражаються деяким числом (точкою на числовій вісі), прийнято називати точковими. Оскільки вибірка є випадковою, особливо при малих обсягах n, така оцінка може опинитись далекою від істинного значення параметра.

Значення коофіцієнта М_к Таблиця 1

Інтервальні оцінки

Вичерпуючою характеристикою ступеня наближення оцінки до параметра а, тобто точністю оцінки, є її закон розподілу. Однак така характеристика точності складна в її використанні.

Тому в математичній статистиці для характеристики точності оцінки використовується інтервальна оцінка, яка визначається двома числами – межами інтервалу рис.1

[ – D a ₁, + D a ₂], (2.5.9)

в границях якого з певною ймовірністю знаходиться істинне значення оцінюваного параметра .

Рис.1

Ступінь наближення оцінки до істинного значення параметра a визначається рівністю (рис. 1)

P( – D a ₁£ a £ + D a ₂) = P_d. (2.5.10)

Для випадку симетричних щодо границь, тобто коли D a ₁ і D a ₂ рівні за абсолютною величиною й мають протилежний знак, рівність (10) буде мати вигляд:

P(½ – a ½ £ D a) = P_d. (2.5.11)

Визначений таким чином інтервал [ – D a ₁, + D a ₂] називають довірчим інтервалом, імовірність P_d- довірчою імовірністю, а величини

– D a ₁, + D a ₂- довірчими межами.

Слід відмітити, що близькість довірчої імовірності до одиниці ще не гарантує (в імовірнісному розумінні) близькість оцінки до параметра a, якщо даному значенню P_d відповідає широкий довірчий інтервал.

Вузький довірчий інтервал сам по собі також не характеризує якість оцінки , якщо йому не відповідає висока довірча ймовірність. Таким чином, довірчу імовірність і довірчий інтервал необхідно завжди розглядати в сукупності.

За допомогою виразів (10) і (11) можна знайти довірчий інтервал при заданій довірчий імовірності або визначити довірчу ймовірність при заданому довірчому інтервалі. У більшості прикладних задач метрології визначається довірчий інтервал по заданій довірчій імовірності.

Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.207-76 (ГСИ. Прямые измерения с многократными повторениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.) довірчу імовірність P_d для визначення довірчих меж похибки результату вимірювання приймають рівною 0.95.

У таких випадках, коли вимірювання не можна повторити, крім довірчих границь, які відповідають довірчій імовірності P_d = 0.95, допускається вказувати границі для довірчої імовірності P_d = 0.99.

Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.381-80 (прим.1) довірчу імовірність при визначенні довірчих границь похибки еталона приймають рівною 0.99.

Висновок: Таким чином вище розглянуті оцінки, властивості оцінок, точкові й інтервальні оцінки, довірчі імовірності, довірчі інтервали, а також зв’язок останніх при вирішенні прикладних задач метрології.

2.5.2. Принцип практичної впевненості

Оцінки будь-якого параметра генеральної сукупності внаслідок обмеженого обсягу вибірки є випадковими величинами. Однак на основі цих оцінок повинні надаватись практичні рекомендації.

Наприклад, на основі групи спостережень вказують певний результат вимірювання, хоча ймовірність того, що цей результат дорівнює дійсному значенню, завжди менша одиниці. Якщо при цьому оцінюється похибка вимірювання, то й вона може бути знайдена з певним ступенем точності. На практиці вважається, що похибка вимірювання значно менша результату вимірювання. Із теорії ймовірностей видно, що похибка може бути як завгодно великою (хоча імовірність появи такої похибки дуже мала).

Протиріччя, яке виникає між теорією і практикою, можна вирішити, якщо, замість неможливих і достовірних подій, використовувати так звані практично достовірні й неможливі події, імовірність появи яких близькі відповідно одиниці й нуля.

Наприклад, якщо відомо, що ймовірність появи події А в даному досліді дорівнює 0, 3, то це ще не дає можливості передбачити результат досліду. Але якщо імовірність події А в даному досліді мізерно мала, або навпаки надто близька до одиниці, то це вже дає можливість передбачати результат досліду з достатньою підставою. При цьому керуються принципом практичної впевненості, який формулюється наступним чином.

Якщо ймовірність деякої події в даному досліді дуже мала (велика), то можна бути практично впевненим у тому, що при одноразовому виконанні досліду подія А не здійсниться (здійсниться). Іншими словами, події з дуже малими (великими) імовірностями можна вважати практично неможливими (достовірними).

Природно виникає питання: наскільки малою повинна бути ймовірність події, щоб можна було вважати неможливою її появу в одному випробуванні.

Найбільше значення малої ймовірності, при якій подію можна вважати практично неможливою, називають рівнем значимості.

Питання про кількісне значення рівня значимості виходить за рамки математичної теорії, і в кожному конкретному випадку воно вирішується, виходячи з практичних міркувань, у залежності від того, наскільки важливе значення має прийняте рішення й наскільки велика небезпека одиночної помилки.

На практиці, як правило, приймають рівень значимості 0, 05; 0, 02; 0, 01 і рідше 0, 1 або 0, 2. Згідно з міждержавним стандартом ГОСТ 8.207-76 при перевірці гіпотези про те, що результати спостережень належать нормальному розподілу, приймають рівні значимості від 0, 1 до 0, 02.

Висновок: Т.ч. в даному питанні розглянуті поняття принципу практичної впевненості і рівня значимості і як вони застосовуються на практиці.

2.5.3. Критерії узгодженості

При вивченні закону розподілу випадкової величини на основі даних статистичного матеріалу висувається гіпотеза про теоретичний розподіл. Між статистичним і теоретичним розподілами завжди має місце деяка неузгодженість, яка обумовлена випадковими обставинами, які зв’язані або з поганим узгодженням розподілів, або з обмеженим обсягом вибірки. Основна вимога до теоретичного розподілу полягає в тому, щоб він відображав лише суттєві сторони статистичного матеріалу, а не випадкові, які обумовлені недостатніми експериментальними даними.

Ступінь узгодженості між теоретичними й практичними розподілами може бути оцінена за допомогою критерію згоди.

Критерієм згоди називають критерій перевірки гіпотези про передбачуваний закон невідомого розподілу.

Вибирається деяка величина x, яка характеризує ступінь розбіжності теоретичного та статистичного розподілів. Вона може бути вибрана різними способами. Величина повинна задовольняти деяким загальним вимогам. Необхідно, щоб закон розподілу величини x визначався просто й не залежав від закону статистичного розподілу. Крім того, необхідно, щоб відмінність теоретичного розподілу від статистичного суттєво відображалась на значенні величини.

Потім задаються рівнем значимості q. Виходячи із закону розподілу випадкової величини x, визначають таке її значення x_q, для якого виконується рівність:

P(x³ x_q)=q. (2.5.12)

Знайдене для даної вибірки значення x=x_q порівнюють з x_q. Якщо x< x_q, то вважають, що гіпотеза не суперечить дослідним даним і вона може бути прийнята, а якщо x_a³ x_q то гіпотезу відхиляють. При вирішенні прикладних задач метрології і зокрема при статистичній обробці результатів спостережень застосовуються наступні критерії згоди: c² (хі-квадрат), Пірсона, Колмогорова і v².

Критерії c² і Колмогорова рекомендується застосовувати у випадку, коли число спостережень n> 100, a критерій v², – коли n> 50.

Критерій c² є найбільш допустимий при великому числі спостережень, так як він забезпечує мінімальну помилку прийняття гіпотези в порівнянні з іншими критеріями. Його слід застосовувати в тих випадках, коли значення параметрів розподілу невідомі.

Як випадкова величина x, при використовуванні критерію c², вибирається величина c², яка визначається рівністю:

(2.5.13),

де: n - кількість спостережень (обсяг вибірки);

r - кількість розрядів (інтервалів, на які «розбита» вибірка);

m_j - кількість елементів вибірки, які попали в j-ий розряд;

P_j - теоретична ймовірність попадання в j-ий розряд.

Вибір значення x=c²_q, яке визначається згідно з умовою k=r–l–1,

де l-число невідомих параметрів теоретичного розподілу, які визначаються за даними вибірки.

Із знайденими за допомогою таблиці значеннями c² порівнюють обчислене для даної вибірки за формулою значення c². Якщо c²_a< c²_q, то для прийнятого рівня значимості q гіпотеза про згоду теоретичного та статистичного (дослідного) розподілів приймається, якщо c ²_a³ c²_q – то відхиляється.

Складовий критерій, регламентований ГОСТ8.207-76, застосовується для перевірки належності результатів спостережень нормальному розподілу при малому числі спостережень 15< n< 50. При кількості результатів спостережень n£ 15 належність до нормального розподілу не перевіряють.