Помилки першого та другого роду

При статистичній перевірці гіпотези через об’єктивні причини можуть бути допущені помилки двох родів: помилка першого роду, яка полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза, і помилка другого роду, яка полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза.

Розглянемо суть помилок першого та другого роду на прикладі. Нехай на основі проведеного вимірювання необхідно прийняти рішення: знаходиться чи ні істинне значення параметра Х в полі допуску.

Позначимо:

номінальні значення контрольованого параметра - Х_ном;

щільність розподілу вимірюваного параметра f(x);

нижню й верхню межі поля допуску Х_н, Х_в (рис.2).

Нехай вимірювання здійснюється приладом із межею допустимої похибки D_пр і густиною розподілу ймовірностей похибки f(D).

а) б)

Рис.2

З рис.2а видно, що згідно з показом приладу приймається гіпотеза Н₁ (параметр знаходиться поза полем допуску). Насправді, істинне значення параметра Х знаходиться в межах поля допуску. Звідси витікає, що буде допущена помилка першого роду.

З рис.2б видно, що згідно з показом приладу приймається гіпотеза Н₂ (параметр Х знаходиться в полі допуску). Насправді, істинне значення параметра Х знаходиться поза полем допуску. Значить, буде допущена помилка другого роду.

Кількісно помилки першого та другого роду оцінюються ймовірностями їх появи. Імовірність допустити помилку першого роду називають імовірністю хибної відмови Р_хв, а ймовірність допустити помилку другого роду – імовірність невизначеної відмови Р_{нв .} Імовірності Р_хв і Р_нв можуть бути знайдені за допомогою формули повної імовірності (8-й кадр):

Р_хв (2.5.14)

Р_нв (2.5.15)

Висновок: Таким чином, розглянуті нами критерії згоди, помилки першого та другого роду використовуються як в теоретичній метрології, так і при статистичній обробці результатів вимірювань.

2.6. Визначення числових характеристик випадкових величин

2.6.1. Визначення числових характеристик дискретних

випадкових величин

Дискретною випадковою величиною називають таку величину, можливі значення якої набувають або скінченну, або зліченну послідовність чисел. Наприклад, можливе число очок при киданні кості: 1, 2, 3, 4, 5, 6 можливе число попадань стрілка в ціль при ста пострілах: 0, 1, 2, 3, 4..., 99, 100, можливе число горошин в одному кілограмі: 500, 501,..., 1999, 2000 і т. д. Число можливих пострілів, а значить і число попадань - необмежене, необмежене також і число горошин в одному кілограмі. Але проміжки між значеннями дискретних величин не заповнені. При киданні кості не може випасти 2, 5 або 3, 75 очки, як не може бути 4, 5 постріли і 2, 5 попадання і т.д.

Необхідно відмітити, що границя між дискретними і неперервними величинами далеко не так визначена, як це може здатися на перший погляд. Дійсно, деяка кількість води може розглядатись як величина неперервна. Але вода складається з окремих молекул, кількість її може відрізнятись одна від одної тільки на ціле число молекул, тобто, якби ми розглядали молекули, кількість води потрібно було б розглядати як дискретну величину [9, 10, 25, 27].

Більшість вимірюваних величин ми вважаємо неперервними. У ряді випадків це пов’язано з недостатньою чутливістю існуючих засобів вимірювання, які не дають можливості здійснювати вимірювання шляхом підрахунку окремих частин. Іноді ми прагнемо підвищити точність вимірювання, щоб у числовому виразі результату отримати більше знаків. Якщо вимірювана величина по своїй природі дискретна, то отримувана точність вимірювання обмежується розміром елементарної частинки величини.

З іншої сторони, неперервні величини іноді штучно подаються як дискретні, які змінюються рівними квантами.

Від кожного кванта отримують імпульс, який переміщує лічильник на одну одиницю. При цьому ми продовжуємо вважати дану величину неперервною. Можна підвищити точність вимірювання, зменшуючи розмір рівня вимірюваної величини (або розмір кванта).