Дисперсія

Дисперсією ВВ X називається математичне сподівання квадрату відхилення ВВ від її математичного сподівання:

. (2.3.8)

Для дискретної ВВ X дисперсія визначається за допомогою формули:

, (2.3.9)

а для неперервної — інтегралом:

(2.3.10)

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається позитивний корінь з дисперсії:

(2.3.11)

Основні властивості дисперсії

1. Дисперсія є число позитивне.

2. Дисперсія постійної величини С дорівнює нулю:

(2.3.12)

3. Дисперсія добутку постійної величини на випадкову величину дорівнює добутку квадрату постійної величини на дисперсію випадкової величини:

(2.3.13)

4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:

(2.3.14)

5. Залежність між дисперсією та математичним сподіванням визначається виразом:

(2.3.15)

6.Статистична аналогія дисперсії є середнє арифметичне із суми квадратів центрованої випадкової величини:

(2.3.16)

Примітка: Центрованою випадковою величиною X, яка відповідає випадковій величині X, називається відхиленням випадкової величини X від її математичного сподівання: X= X-m_x

Для знаходження приблизного значення /оцінки/ середнього квадратичного відхилення застосовують формулу:

(2.3.17)

тоді .

7. Дисперсія середнього арифметичного в n разів менша ніж дисперсія D_x самої випадкової величини X:

. (2.3.18)

Тоді середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного значення:

, (2.3.19)

а оцінка середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного значення:

(2.3.20)

2.3.1. Система двох випадкових величин

Сукупність випадкових величин X: Y, які розглядаються як сумісні, створюють систему двох випадкових величин. Систему BB X: Y позначають (X, Y). Геометрична інтерпретація системи (X, Y) – це випадкова точка на площині xOy з координатами x, y (Рис.1).

Функцією розподілу системи двох випадкових величин називається ймовірність сумісного виконання двох нерівностей:

( і ) (2.3.21)

(2.3.22)

Рис.1

Рис.2

Її геометрична інтерпретація – імовірність того, що точка (x, y) належить заштрихованому на рис.2 квадранту з вершиною (x, y).

Висновок: Розглянуті такі числові характеристики як математичне сподівання, дисперсія й середнє квадратичне відхилення. Також розглянуто взаємозв‘язок між ними і поняття системи двох випадкових величин.

2.3.2. Коефіцієнт кореляції і його властивості

Випадкові величини X і Y є залежними, якщо закон розподілу кожної з них залежить від того яке значення прийняла інша величина.

Залежності випадкової величини X і Y визначається кореляційним моментом випадкових величин X і Y:

. (2.3.23)

Для дискретної випадкової величини кореляційний момент:

(2.3.24)

де - інваріантність того, що система (X, Y) приймає значення x_i, y_i, а для неперервних величин:

(2.3.25)

Кореляційний момент дорівнює добутку розмірностей випадкових величин X і Y. Тому на практиці як характеристику зв’язку між випадковими величинами X і Y зручно користуватись безрозмірним кореляційним моментом, який називається коефіцієнтом кореляції:

, (2.3.26)

де середнє квадратичне відхилення випадкових величин X і Y відповідно.