Теорема об интегрировании сигнала

Интегрирование сигнала с ограниченной площадью при вычислении преобразования Фурье соответствует умножению его спектральной функции на 1/ j ω, а для сигнала , полученного путем n -кратного интегрирования, но при условии, что все n – 1 интегралов в пределах – ∞ < t < ∞ равны нулю, соответствует

. (16)

Теоремы о спектре производной и интеграла широко используются при нахождении спектральных функций сигналов, если дифференцирование (или интегрирование) приводит к типовым функциям времени.

Пример. Задан импульс напряжения треугольной формы (рисунок 6, а). Требуется найти его спектральную функцию и представить графически. Для сравнения на том же рисунке показан прямоугольный импульс .

Найдем производную треугольного импульса u ′ (t). Она представляет собой пару биполярных прямоугольных импульсов высотой 2 U / t _и, длительностью 0, 5 t _и, смещенных из начала координат влево и вправо на 0, 25 t _и (рисунок 6, б):

.

Исходя из выражения спектральной функции симметрично

расположенного прямоугольного импульса высотой U, длительностью t _и,

,

а также на основании теоремы о сдвиге запишем спектральную функцию производной u ′ (t):

,

где .

Так как исходная функция u (t) есть интеграл от u ′ (t), то для

получения спектральной функции исходного сигнала u (t) достаточно разделить на j ω:

.

График этой функции показан на рисунке 7 сплошной линией. Здесь же для сравнения представлен пунктиром график модуля спектральной функции прямоугольного импульса .

Теорема о спектре свертки

 

Сверткой двух функций x ₁(t), x ₂(t) называется интеграл вида:

. (17)

Такая математическая операция может выполняться с функциями любого аргумента. Ее геометрическая интерпретация представлена на рисунке 8.

u (t)

		U
		t
		а

 

ω

– t и/2

t

 

Рисунок 7

б

 

 

Рисунок 6

		а
	б

 

в

 

		t
	Рисунок 8

 

Преобразование Фурье свертки двух функций времени x ₁(t) и x ₂(t) с известными преобразованиями Фурье , будет

 

. (18)

 

Спектральная функция свертки двух функций времени x ₁(t) и x ₂(t) равна произведению их спектральных функций и .