Единичная функция

(единичный сигнал включения)

Математически единичная или ступенчатая функция

(см. рисунок 13, б) наиболее часто определяется следующим образом:

0 при t < t ₀,

1(t – t ₀) = ½ при t = t ₀,

1 при t > t ₀.

Встречается и такая запись единичной функции, когда ее значение в точке разрыва не определено:

0 при t < t ₀,

1(t – t ₀) =

1 при t > t ₀.

Единичная или ступенчатая функция служит удобной математической моделью для описания процессов коммутации в цепях, различных импульсных сигналов, например, достаточно часто с помощью ступенчатых функций синтезируются прямоугольные импульсные сигналы и т. д. Так, прямоугольный импульс высотой U, длительностью t _и (рисунок 19), симметрично расположенный относительно начала координат (t = 0), может быть записан так:

U (t) = U rect t / t _и = U 1(t + t _и/2) – U 1(t – t _и/2). (40)

.

Эта сложность может быть преодолена, если единичную функцию 1(t) = σ (t) умножить на e ^{-α t} (α > 0), а затем в полученном результате принять α → 0. Тогда получим:

= ,

откуда

при ω > 0,

= = = (41)

при ω < 0.

Однако этот результат не является полным, так как обратное преобразование Фурье от 1/ j ω не сходится к 1(t). Для преодоления этой трудности следует (рисунок 20) единичную функцию σ (t) разложить на четную σ _ч(t) и нечетную σ _нч(t). Затем, вводя для нечетной части e ^{-α t} , находим полное выражение спектральной функции σ (t) = 1(t):

= . (42)

Первое слагаемое представляет собой спектральную функцию σ _ч(t) (постоянную составляющую), а второе – спектральную функцию σ _нч(t). Если в цепи не проходит постоянная составляющая, то первое слагаемое опускается и принимается , т. е. используется результат выражения (41). Модуль и аргумент функции представлены графически на рисунке 21.