Спектральный анализ дискретных сигналов

= .

Спектральная функция (спектр) дискретизированного последовательностью δ -функций непрерывного сигнала x (t) является непрерывной и периодической функцией частоты ω с периодом . На рисунке 26, а представлен графически модуль спектральной функции исходного непрерывного сигнала x (t) S_x (ω), а на рисунке 26, б – модуль дискретизированного сигнала x_{T δ} (t) S_{T δ} (ω). Компонентами спектральной функции дискретного сигнала S_{T δ} (ω) является повторяющаяся с периодом спектральная функция исходного непрерывного сигнала S_x (ω), умноженная на 1/ T.

		.
		.

Рисунок 26

Из рассмотрения спектра дискретного сигнала легко найти условия, определяющие выбор интервала T дискретизации по времени.

Если предположить, что спектр исходного непрерывного сигнала x (t) ограничен частотой ω _в, то при

≥ 2ω _в или T ≤ (51)

В реальных условиях в качестве дискретизирующих последовательностей могут использоваться последовательности различных по форме импульсов. Это могут быть последовательности импульсов прямоугольной, экспоненциальной, косинусоидальной и любой иной формы.

Преобразование Фурье (спектральная функция) сигнала x_{T 1}(t), дискретизированного с помощью АИМ1по формуле (47), имеет вид:

. (52)

где – спектральная функция непрерывного

сигнала x (t);

– спектральная функция импульса (дискрета).

Модули спектральных функций исходного непрерывного сигнала S_x (ω) и АИМ1-сигнала S_{T 1}(ω) представлены на рисунке 27.

Спектральная функция дискретизированного посредством АИМ1 сигнала (дискретизирующие импульсы u ₀(t – nT) конечной длительности) – функция непрерывная относительно ω, но не периодическая. Компоненты спектральной функции (52) изменяются по закону дискретных отсчетов (выборок) спектральной функции в точках k , т. е. выборками . Каждый компонент формулы (52) с множителем повторяет спектральную функцию исходного непрерывного сигнала x (t), т. е.

.

Такие компоненты спектральной функции исходного непрерывного сигнала чередуются по частоте с интервалом .

		а

Рисунок 27

Преобразование Фурье (спектральная функция) сигнала x_{T 2}(t), дискретизированного с помощью АИМ2 по формуле (48), запишется так:

(53)

С учетом выражения (50) этот результат можно представить в виде:

= . (54)

Здесь – функция периодическая, а – непериодическая. Следовательно, спектр дискретизированного посредством АИМ2 сигнала, как и в случае АИМ1, – непериодический. Спектральная функция дискрета в формуле (54) играет роль огибающей. Функция – непрерывная относительно ω. Механизм построения графика модуля спектральной плотности при АИМ2 такой же, как и при АИМ1 (см. рисунок 27).

Выбор интервала дискретизации Т непрерывного сигнала x (t) при АИМ1 и АИМ2 производится, как и в случае дискретизации последовательностью δ -функций, из условия (51) согласно теореме отсчетов. При неограниченных спектрах дискретизируемых непрерывных сигналов (ограниченному по времени сигналу соответствует неограниченный спектр) при любом конечном Т отдельные компоненты спектральных функций перекрываются. Очевидно, что с уменьшением интервала Т степень перекрытия также уменьшается, а значит, будут уменьшаться искажения сигнала при восстановлении. Эти искажения называют ошибками дискретизации. При неограниченных спектрах выбор интервала дискретизации Т производится обычно по различным критериям, например, из условия перекрытия компонентов функции на определенном уровне от заданного уровня ошибок дискретизации (0, 1 S_{x max}; 0, 2 S_{x max} и т. д.).

С уменьшением длительности t _и дискрета u ₀(t) происходит расширение его спектра неравномерность в распределении компонентов спектральных функций (52) и (53) уменьшается. Например, при практически можно считать постоянной величиной вблизи начала координат (ω = 0).

Из выражения (54) легко представить один из способов синтезирования сигнала x_{T 2}(t), дискретизированного посредством АИМ2. Он заключается в том, что прежде производится синтезирование дискретного сигнала x_{T δ} (t), а оно выполняется с помощью идеального импульсного элемента (ИЭ), затем полученный сигнал x_{T δ} (t) следует пропустить через линейный фильтр с комплексной частотной характеристикой

K _ф(j ω) =

Функциональная схема такого дискретизатора и приведена на рисунке 25, г.

При решении различных задач, связанных с воздействием на дискретные системы сигналов, дискретизированных посредством АИМ2, часто линейный фильтр с характеристикой включают в систему. Образуется приведенная система с комплексной частотной характеристикой K (j ω) где K (j ω) – характеристика заданной системы.

Входным воздействием такой приведенной системы становится вместо сигнала АИМ2 процесс x_{T δ} (t). А если спектр дискрета u ₀(t) достаточно широкий в сравнении с полосой пропускания заданной системы [ K (jω)], то функцию вообще можно исключить из рассмотрения.

Приведенные из теории дискретных функций (сигналов) сведения помогут в выполнении той части настоящего задания, которая посвящена расчетам и построению спектров дискретных сигналов, а также ограниченных периодических последовательностей,

т. е. пачек из импульсов x ₀(t), указанных в индивидуальных заданиях.

При анализе спектральных характеристик пачек импульсов можно поступить, как показано на рисунке 28.

		б

Рисунок 28

Считать пачку импульсов дискретизированным (дискретным) сигналом: импульсы в пачке – дискретизирующими импульсами (дискретами), а огибающую пачки – дискретизируемой непрерывной функцией x _ог(t). В данном случае огибающей будет являться прямоугольная функция длительностью T _c= NT _п:

x _ог(t) = ,

где Т _п – период повторения импульсов x ₀(t);

N – число импульсов в пачке.

Так будет образован дискретный сигнал (см. рисунок 28). Выражение для этого дискретного сигнала следующее:

x_Т (t) = = . (55)

Далее требуется найти и рассмотреть все характеристики такой пачки и проанализировать их связь с параметрами пачки: числом и формой импульсов в пачке, длительностью пачки и т. д.