Условия существования безвихревых течений.

Плоские безвихревые установившиеся течения идеальной несжимаемой жидкости.

Течение называется плоским, если все частицы движутся па­раллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц в соот­ветствующих точках плоскостей, параллельных этой фиксиро­ванной плоскости, одинаковы по величине и направлению. Очевидно, в этом случае достаточно рассмотреть течение в од­ной плоскости, которую можно принять за плоскость (х, у). При таком выборе системы координат все величины будут зависеть только от координат х, у. Это означает, что υ _z = 0, . Так как течение

предполагается установившимся, то . Сле­дует иметь в виду, что, говоря

о течении в плоскости, мы фак­тически рассматриваем течение в слое между плоскостью (х, у) и ей параллельной. Так, например, обтеканию контура в пло­скости (х, у) соответствует в пространстве обтекание цилиндра, для которого контур в плоскости (х, у) является направляющей.

Так как жидкость несжимаема, то плотность постоянна и должна быть известна: р = ро. Искомые функции

v_x = v_x(x, у), v_y = v_y(x, у), р = р{х, у), Е==Е{х, у). (1)

Уравнениями плоской задачи являются уравнение неразрыв­ности, уравнения Эйлера в проекциях на оси х и у и уравнение энергии. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид

(2)

Будем считать, что массовые силы консервативны или отсутст­вуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив интеграл Эйлера — Бернулли. Поэтому вместо урав­нений Эйлера используем условие отсутствия вихря и интеграл Эйлера — Бернулли.

Условие отсутствия вихря rot v = 0 для плоского движения, когда , приводит к равенству

(3)

Интеграл Эйлера –Бернулли имеет вид

(4)

Уравнение энергии для несжимаемой жидкости. Если нет притока тепла, дает

(5)

т. е. для несжимаемой жидкости энергия в частице сохраняется. Уравнения (2), (3) содержат лишь функции v_x и v_y. Уравнение (4) может быть использовано для нахождения дав­ления, если известны скорости v_x и v_y.

Условие отсутствия вихря имеет вид

(6)

Вследствие чего существует функция φ (x, y), такая, что

(7)

, . (8)

Потенциал скоростей несжимаемой жидкости, как уже было по­казано и ранее, в силу уравнения неразрывности (2) удовле­творяет уравнению Лапласа

(9)

Решение уравнения (9) должно удовлетворять граничным условиям. В случае обтекания тел однородным безграничным потоком решение должно быть таким, чтобы на бесконечности скорость потока была равна заданной величине V∞, а на поверх­ности S тела было удовлетворено условие обтекания, т. е.

, , (10)

Задача нахождения решения уравнения Лапласа по заданному значению нормальной производной на границе называется зада­чей Неймана. В случае, если область бесконечна, имеем внеш­нюю задачу Неймана с граничными условиями в виде (10).

Из уравнения неразрывности следует

(11)

Равенство (11) – условие того, что дифференциальная форма есть полный дифференциал некоторой функции ψ (x, y) и, следовательно,

, . (12)

Выпишем уравнение линии тока для плоского случая

(13)

(14)

Видим, что dψ =0, ψ =const.