Образование вихрей. Теорема Бьеркнеса об ускорении циркуляции.

Теорема Лагранжа о безвихревом движении жидкости и тео­рема Гельмгольца о сохранении вихрей справедливы при пред­положениях, что жидкость идеальна, баротропна и массовые силы консервативны. В этом параграфе будет показано, что если жид­кость не баротропна или массовые силы не консервативны, то вихри даже в идеальной жидкости могут возникать и уничто­жаться. При доказательстве теоремы Томсона было получено равенство

Учитывая уравнения Эйлера, описывающие движение идеальной жидкости, получим

(1)

Рассмотрим два случая: 1) жидкость баротропна: ρ = φ (р), но массовые силы не консервативны; 2) жидкость бароклинна, т. е. плотность зависит не только от давления, но и от других параметров, например, температуры, влажности (для воздуха) или от солености (для воды).

В первом случае равенство (1) принимает вид

(2)

Но правая часть (2)— работа силы, действующей на единицу массы, при обходе контура l. Эта работа в неконсервативном поле, вообще говоря, не равна нулю. Следовательно, и теорема Томсона несправедлива, вихри могут возникать и мо­гут уничтожаться

Рассмотрим второй случай, предполагая, что массовые силы консервативны: F = —grad V, но жидкость бароклинна. В этом случае равенство (1) принимает вид

(3)

где .

Рассмотрим два семейства поверхностей: р = const (изоба­рические поверхности) и ω = const (изостерические поверхно­сти). В баротропной жидкости плотность сохраняет постоянное значение на изобарической поверхности. Следовательно, в баротропной жидкости изобарические и изостерические поверхности совпадают. В рассматриваемом случае эти поверхности будут пересекаться. Четыре поверхности образуют трубку, которая называется изобаро-изостерической.

Рассмотрим трубку, для которой , , и контур ABCD, охватывающий эту трубку (рис. 6). Тогда

(4)

При другом расположении поверхностей можно получить равен­ство В первом случае трубка называется единичной отрицательной, а во втором — единичной положительной изоба­ро-изостерической трубкой. Если контур охватывает N⁺ единич­ных положительных трубок и N^- отрицательных, то

. (5)

Равенства (3), (5) составляют содержание теоремы Бьеркнеса. Они показывают, что в бароклинной жидкости , и, следовательно, вихри в бароклинной жидкости могут возни­кать и уничтожаться.